Дано:
уравнение вида

sin²x - 2 · sinx · cosx - 3 · cos²x = 0

Вопрос:
решите уравнение. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Данное уравнение sin²x - 2 · sinx · cosx - 3 · cos²x = 0 является однородным. Подобные уравнения решаются почленным делением на одну из степеней. Разделим все слагаемые уравнения на cos²x ≠ 0:

Обозначим tgx = t, где t ϵ (-∞; +∞).

t² - 2 · t - 3 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = -2 и c = -3.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 4 +12 = 16

Так как D > 0 (16 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

Тогда:

tgx₁ = t₁       `=>`       tgx₁ = 3       `=>`       x₁ = arctg3 + πk, k ϵ Z

tgx₂ = t₂       `=>`       tgx₂ = -1       `=>`       x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z

Из множества найденных решений укажем корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Рассмотрим корни:

x₁ = arctg3 + πk, k ϵ Z

Изобразим схематично график функции f(x) = tgx:

На отрезке [-π; π/2] прямая f(x) = 3 пересекает семейство кривых f(x) = tgx в двух точках:

1: x = arctg3

2: x = arctg3 - π

Промежуточный вывод: корни arctg3 и arctg3 - π из множества x₁ принадлежат отрезку [-π; π/2].

Рассмотрим множество корней:

x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z

Сформируем процессинговую таблицу:

Промежуточный вывод: из множества x₂ только корень - π/4 принадлежит отрезку [-π; π/2].

1. решаем заданное уравнение методом почленного деления на cos²x и последующей заменой переменной. Найденные множества корней: x₁ = arctg3 + πk, k ϵ Z и x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z.

2. среди множества найденных решений исходного уравнения определим корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]. Из множества x₁ данному отрезку принадлежат корни arctg3 и arctg3 - π; из множества x₂ только корень - π/4.