Категория C3 • задача №2

 
 
 

Условие задачи

Дано:
система неравенств вида

 

Вопрос:
решите систему неравенств.

 

Решение

Решим (2) неравенство системы 7x - 7x-1 + 6 > 0:

Используя свойство степени ar : as = ar-s:

Пусть t = 7x ( 0), тогда:

Умножим обе части неравенства на 0:

t2 + 6t - 7 > 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t2 + 6t - 7 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 6 и c = -7.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b2 - 4ac = 62 - 4 · 1 · (-7) = 36 + 28 = 64

Так как D > 0 (64 > 0 верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

 

f(-8) = (-8)2 + 6 · (-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0
f(0) = 02 + 6 · 0 - 7 = -7 < 0
f(2) = 22 + 6 · 2 - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0

Получаем:

Переходим к обратной подстановке:

 

Решим (I) неравенство системы:

7x < -7 – корней нет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения.

 

Решим (II) неравенство системы:

7x > 1          `=>`          7x > 70

По теореме II (при a > 1 неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству f(x) > g(x)):

x > 0

 

Решим (1) неравенство системы:

22x-6 + x2x-3 - 2x+1 - 16x 0          `=>`          (22x-6 - 2x+1) + (x2x-3 - 16x) 0

2x-3(2x-3 - 16) + x(2x-3 - 16) 0          `=>`          (2x-3 + x)(2x-3 - 16) 0

2x-3 + x 0

Так как из (2) неравенства системы следует, что x > 0, поэтому 2x-3 + x > 0.

2x-3 - 16 0          `=>`          2x-3  16          `=>`          2x-3 24

Используя теорему II (при a > 1 неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству f(x) > g(x)):

x - 3 4          `=>`          7

 

Найдем итоговое значение х, объединив результаты:

х ϵ (0; 7] 

 

Вывод:

решением поставленного неравенства является х ϵ (0; 7]

Резюме

  1. решили (2) неравенство системы. Его решением является x > 0;

  2. решили (1) неравенство системы. Его решением является х ϵ (0; 7];

  3. определили итоговое значение х, объединив результаты: х ϵ (0; 7].

 

Ответ:

(0; 7] 

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 1
Количество просмотров: 1509
 
 
 

Категория C3 • задача №2

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
© 2011-2024 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?