Категория C3 • задача №2
Условие задачи
Дано:
система неравенств вида
Вопрос:
решите систему неравенств.
Решение
Решим (2) неравенство системы 7x - 7x-1 + 6 > 0:
Используя свойство степени ar : as = ar-s:
Пусть t = 7x (t ≠ 0), тогда:
Умножим обе части неравенства на t ≠ 0:
t2 + 6t - 7 > 0
Решим полученное неравенство методом интервалов:
t2 + 6t - 7 = 0
Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 6 и c = -7.
Найдем дискриминант данного уравнения:
D = b2 - 4ac = 62 - 4 · 1 · (-7) = 36 + 28 = 64
Так как D > 0 (64 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:
f(-8) = (-8)2 + 6 · (-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0
f(0) = 02 + 6 · 0 - 7 = -7 < 0
f(2) = 22 + 6 · 2 - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0
Получаем:
Переходим к обратной подстановке:
Решим (I) неравенство системы:
7x < -7 – корней нет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения.
Решим (II) неравенство системы:
7x > 1 `=>` 7x > 70
По теореме II (при a > 1 неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству f(x) > g(x)):
x > 0
Решим (1) неравенство системы:
22x-6 + x2x-3 - 2x+1 - 16x ≤ 0 `=>` (22x-6 - 2x+1) + (x2x-3 - 16x) ≤ 0
2x-3(2x-3 - 16) + x(2x-3 - 16) ≤ 0 `=>` (2x-3 + x)(2x-3 - 16) ≤ 0
2x-3 + x ≤ 0
Так как из (2) неравенства системы следует, что x > 0, поэтому 2x-3 + x > 0.
2x-3 - 16 ≤ 0 `=>` 2x-3 ≤ 16 `=>` 2x-3 ≤ 24
Используя теорему II (при a > 1 неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству f(x) > g(x)):
x - 3 ≤ 4 `=>` x ≤ 7
Найдем итоговое значение х, объединив результаты:
х ϵ (0; 7]
Вывод: |
решением поставленного неравенства является х ϵ (0; 7] |
Резюме
решили (2) неравенство системы. Его решением является x > 0;
решили (1) неравенство системы. Его решением является х ϵ (0; 7];
определили итоговое значение х, объединив результаты: х ϵ (0; 7].
Ответ: |
(0; 7] |
Комментарии