Дано:
неравенство вида

Вопрос:
решите неравенство.

Найдем область определения:

Рассмотрим и решим (1) неравенство системы x² + x – 20 > 0. Для этого воспользуемся методом интервалов:

x² + x – 20 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 1 и c = – 20.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = 1² - 4 · 1 · (– 20) = 1 + 80 = 81

Так как D > 0 (81 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(–6) = (–6)² + (–6) – 20 = 36 – 6 – 20 = 10 > 0
f(0) = 0² + 0 – 20 = – 20 < 0
f(5) = 5² + 5 – 20 = 25 + 5 – 20 = 10 > 0

x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)

Рассмотрим и решим (2) неравенство системы:

Решим методом интервалов:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

(x + 5)¹¹ = 0       `=>`       `root(11)((x + 5)^11)` = `root(11)(0)`       `=>`       x + 5 = 0       `=>`       x₁ = -5

x - 4 = 0       `=>`       x₂ = 4

x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)

Решим (3) неравенство системы х – 4 ≠ 0:

х – 4 ≠ 0       `=>`       х ≠ 4

Консолидируем рассчитанные значения х:

Получим:

Область определения: x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)

Преобразуем заданное неравенство:

Используя свойство логарифма log_ab^p = p · log_ab:

Воспользуемся свойством логарифма log_a(bc) = log_ab + log_ac:

Используя свойство логарифма log_a(`(b)/(c)`) = log_ab - log_ac:

Рассмотрим уравнение:

По определению логарифма (log_ab = x       `hArr`       a^x = b) имеем:

(x - 4)¹² = 11¹² · 1       `=>`       (x - 4)¹² = 11¹²

Так как 12 – четное число, то получим равносильное уравнение:

(х – 4)² = 11²       `=>`       (х – 4)² – 11² = 0

Воспользуемся формулой a² – b² = (a – b)(a + b):

(x – 4 – 11)(x – 4 + 11) = 0       `=>`       (x – 15)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

x – 15 = 0       `=>`       x₁ = 15                                 | x + 7 = 0       `=>`       x₂ = – 7

f(–8) = (–8 – 15) · (–8 + 7) = (–23) · (–1) = 23 > 0
f(0) = (0 – 15) · (0 + 7) = (–15) · 7 = –105 < 0
f(16) = (16 – 15) · (16 + 7) = 1 · 23 = 23 > 0

x ϵ [–7; 15]

Учитывая область определения имеем:

x ϵ [–7; – 5) ᴜ (4; 15]

1. детерминировали область определения: x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞);

2. преобразовали заданное неравенство. Его решением является x ϵ [–7; 15];

3. учитывая область определения, определили решение поставленного неравенства: x ϵ [–7; – 5) ᴜ (4; 15].