Условия всех задач из категории C4
Историческая справка и теоретические сведения
Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
ABCD - параллелограмм;
AB || CD, AD || BC;
AC, BD - диагонали;
BH - высота.
Свойства параллелограмма:
противоположные стороны равны (AB = CD, AD = BC);
противоположные углы равны (∠A = ∠C, ∠B = ∠D);
диагонали точкой пересечения делятся пополам (AO = OC, OD = OB);
биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник;
сумма всех внутренних углов равна 360°.
Трапеция - четырехугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
ABCD - трапеция (BC || AD);
BC, AD - основания;
AB, CD - боковые ребра;
BH - высота;
OO1 - средняя линия.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
BC, AD - основания трапеции;
BH - высота трапеции.
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое ее радиусом.
O - центр окружности;
R - радиус окружности.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
AB - касательная к окружности в точке S.
Хорда - отрезок прямой линии, соединяющей две точки окружности.
O - центр заданной окружности;
CD - хорда.
Фундаментальное свойство хорды:
радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.
OF ⊥ CD `=>` CF = FD = ½CD
Методические указания
Для успешного решения задач из данной категории вы должны:
знать определения геометрических тел и их свойства;
уметь проводить дополнительные построения;
уметь решать задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).
Задача №1
Дано:
в параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 5.
Вопрос:
найдите BC, если AB = 3.
Задача №2
Дано:
площадь трапеции ABCD равна 90. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N.
Вопрос:
найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Задача №3
Дано:
с центром в точке O1, располагаемой на биссектрисе угла, равного 60°, проведена окружность радиуса 4.
Вопрос:
найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки O1 до вершины угла равно 10.
Задача №4
Дано:
в окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB = 8. Точка C лежит на хорде AB так, что AC : BC = 1 : 2.
Вопрос:
найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.