Условия всех задач из категории C5

Уравнение вида `sqrt(f(x)) = g(x)` называется иррациональным уравнением.

Решение подобных уравнений предлагают два подхода:

1. решение без равносильных преобразований;

2. использование равносильных преобразований.

Для уравнения вида `sqrt(f(x)) = g(x)` существует следующее равносильное преобразование:

Модуль числа:

Неравенство вида `sqrt(f(x)) >= g(x)`  называется иррациональным неравенством.

Для неравенства вида `sqrt(f(x)) >= g(x)` существует следующие равносильные преобразования:

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

f(x) - график заданной функции;

AB - касательная прямая;

C - точка касания.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке A (x₀; f(x₀)) имеет вид:

y_к = f '(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

Геометрический смысл производной: существование производной функции f(x) в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной)  касательной  в  точке  (x₀; f(x₀))  графика  функции  f(x)  при  этом  угловой  коэффициент  касательной  равен f '(x₀).

Уравнение прямой: y = kx + b.

Число k (k ≠ 0) называют угловым коэффициентом прямой. k равен тангенсу угла, который образует прямая y = kx + b с положительным направлением оси Ox (k = tgα).

Для успешного решения задач из данной категории вы должны:

1. уметь решать простейшие уравнения с параметром;

2. знать формулы сокращенного умножения многочленов;

3. уметь решать квадратные уравнения;

4. уметь находить координаты вершины параболы и точку пересечения парабол.

Дано:
уравнение вида

`sqrt(x + 2a) = x - 3`

Вопрос:
укажите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение `sqrt(x + 2a) = x - 3`  имеет единственное решение.

Дано:
прямая вида y = bx + 3

Вопрос:
при каких значениях b прямая y = bx + 3 является касательной к параболе f(x) = x² - 2x + 4.

Дано:
уравнение вида

|x - a| - |x + 1| = 2

Вопрос:
при каких a уравнение |x - a| - |x + 1| = 2 является следствием неравенства `sqrt(x^2 + 4x + 3) >= -1 - x`?

Дано:
уравнение вида

(x + 2a) · (x² - a² - 2a - 1) = 0

Вопрос:
при каких значениях параметра a произведение корней уравнения (x + 2a) · (x² - a² - 2a - 1) = 0 меньше наименьшего корня этого уравнения.

Дано:
система уравнений вида

Вопрос:
сколько решений имеет система в зависимости от значений параметра с?