Условия всех задач из категории B9

Историческая справка и теоретические сведения

Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. Несомненно, что уже первобытный человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в самых грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды. Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки. Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра и т.д. Потребности земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и ее частей, а следовательно, и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

В период экономического и культурного расцвета Древней Греции и ее колоний геометрия достигла высокого теоретического развития. Из числа выдающихся геометров Греции вопросами стереометрии интересовались Анаксагор, Демокрит, Гиппократ (V в. до н. э.). Гиппократ является в числе первых, занимавшихся решением знаменитой задачи древности – делийской задачи об удвоении куба. В школе Платона проблемы стереометрии значительно продвинулись. Один из представителей школы Платона Теетет рассмотрел восьмигранник и двадцатигранник и дал впервые теорию некоторых свойств пяти правильных многогранников. Ученик Платона Менехме впервые дал некоторую теорию конических сечений. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал. Из 13 книг его «Начал» стереометрии отведены XI-XIII книги. Собранные Евклидом сведения о стереометрии дополнил, углубил и расширил величайший математик древности Архимед. Он дал тринадцать полуправильных тел, каждое из которых ограничено правильными многоугольниками, но не одного и того же рода, и вычислил объемы тел вращения. Благодаря трудам Архимеда стереометрия достигла своего кульминационного пункта, и элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена.

После падения Греции наблюдается длительный застой в развитии математики и стереометрии в частности, длившийся тысячу лет. Для развития стереометрии в новое время многое было сделано Кеплером. В своей «Новой стереометрии» - «стереометрии бочек» - он впервые употребил в геометрии бесконечно-малую величину. Открытие Ньютоном и Лейбницем интегрального исчисления окончательно разрешило проблему квадратуры и кубатуры.

Прямоугольный параллелепипед - это объемная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.

ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед;
A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ – вершины;
AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁,
CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, A₁D₁ – ребра;
ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, ADD₁A₁ – боковые грани;
ABCD, A₁B₁C₁D₁ – основания;
BD₁ – диагональ;
a – длина прямоугольного параллелепипеда;
b – толщина прямоугольного параллелепипеда;
c – высота прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · c

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением:

d² = a² + b² + c²

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается круговой цилиндр, у которого направляющая – окружность и основания перпендикулярны образующей.

r – радиус цилиндра;
l – образующая цилиндра;
h – высота цилиндра.

Примечание: в прямом круговом цилиндре длина образующей равна длине высоты.

Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:

S_бок = 2π · r · h, где

π – перманентная величина (≈3.1415);
r – радиус основания цилиндра;
h – высота цилиндра.

Диаметр цилиндра – хорда окружности, проходящая через центр этой окружности.

Диаметр равен двум радиусам:

d = 2 · r

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

A – вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE – ребра пирамиды;

ADE, ACD, ABC, ABE – боковые грани пирамиды;

BCDE – основание пирамиды;

AG – высота пирамиды;

AF – апофема пирамиды;

AEC – диагональное сечение.

Одно из свойств правильной пирамиды:

боковые ребра правильной пирамиды равны.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы.

S_бок = ½ · P · a, где

S_бок - площадь боковой поверхности;
P - периметр основания;
a - апофема.

Методические указания

Для успешного решения задач из данной категории вы должны:

знать определения геометрических тел и их свойства;
уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;
уметь решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
знать формулы расчета площадей и объемов геометричеких тел.