Условия всех задач из категории B9

 
 
 
 

Историческая справка и теоретические сведения

Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. Несомненно, что уже первобытный человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в самых грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды. Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки. Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра и т.д. Потребности земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и ее частей, а следовательно, и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

В период экономического и культурного расцвета Древней Греции и ее колоний геометрия достигла высокого теоретического развития. Из числа выдающихся геометров Греции вопросами стереометрии интересовались Анаксагор, Демокрит, Гиппократ (V в. до н. э.). Гиппократ является в числе первых, занимавшихся решением знаменитой задачи древности – делийской задачи об удвоении куба. В школе Платона проблемы стереометрии значительно продвинулись. Один из представителей школы Платона Теетет рассмотрел восьмигранник и двадцатигранник и дал впервые теорию некоторых свойств пяти правильных многогранников. Ученик Платона Менехме впервые дал некоторую теорию конических сечений. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал. Из 13 книг его «Начал» стереометрии отведены XI-XIII книги. Собранные Евклидом сведения о стереометрии дополнил, углубил и расширил величайший математик древности Архимед. Он дал тринадцать полуправильных тел, каждое из которых ограничено правильными многоугольниками, но не одного и того же рода, и вычислил объемы тел вращения. Благодаря трудам Архимеда стереометрия достигла своего кульминационного пункта, и элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена.

После падения Греции наблюдается длительный застой в развитии математики и стереометрии в частности, длившийся тысячу лет. Для развития стереометрии в новое время многое было сделано Кеплером. В своей «Новой стереометрии» - «стереометрии бочек» - он впервые употребил в геометрии бесконечно-малую величину. Открытие Ньютоном и Лейбницем интегрального исчисления окончательно разрешило проблему квадратуры и кубатуры.

 

Прямоугольный параллелепипед - это объемная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником.

ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед;
A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 – вершины;
AB, BC, CD, AD, AA1, BB1,
CC1, DD1, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – ребра;
ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, ADD1A1 – боковые грани;
ABCD, A1B1C1D1 – основания;
BD1 – диагональ;
a – длина прямоугольного параллелепипеда;
b – толщина прямоугольного параллелепипеда;
c – высота прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда:

V = a · b · c

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2

 

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается круговой цилиндр, у которого направляющая – окружность и основания перпендикулярны образующей.

r – радиус цилиндра;
l – образующая цилиндра;
h – высота цилиндра.

Примечание: в прямом круговом цилиндре длина образующей равна длине высоты.

Площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:

Sбок = 2π · r · h, где

π – перманентная величина (≈3.1415);
r – радиус основания цилиндра;
h – высота цилиндра.

Диаметр цилиндра – хорда  окружности, проходящая через центр этой окружности.

Диаметр равен двум радиусам:

d = 2 · r

 

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

A – вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE – ребра пирамиды;

ADE, ACD, ABC, ABE – боковые грани пирамиды;

BCDE – основание пирамиды;

AG – высота пирамиды;

AF – апофема пирамиды;

AEC – диагональное сечение.

Одно из свойств правильной пирамиды:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы.

Sбок = ½ · P · a, где

Sбок - площадь боковой поверхности;
P - периметр основания;
a - апофема.

 

Методические указания

Для успешного решения задач из данной категории вы должны:

  1. знать определения геометрических тел и их свойства;

  2. уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;

  3. уметь решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

  4. знать формулы расчета площадей и объемов геометричеких тел.

 
 
 
 

Задача №1

Дано:
в правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO = 54, AC = 144.

 

Вопрос:
найдите боковое ребро SB.

 
 
 
 
 
 

Задача №2

Дано:
в правильной треугольной пирамиде SABC K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 6, а SK = 7.

 

Вопрос:
найдите площадь боковой поверхности.

 
 
 
 
 
 

Задача №3

Дано:
площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а высота равна 6.

 

Вопрос:
найдите диаметр основания.

 
 
 
 
 
 

Задача №4

Дано:
в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = `sqrt(29)`, BB1 = 3, A1D1 = 4.

 

Вопрос:
найдите длину ребра AB.

 
 
 
 
 
 
© 2011-2022 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?