Условия всех задач из категории C3

Историческая справка и теоретические сведения

Логарифмом числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b:

log_ab = x `hArr` a^x = b

Основное логарифмическое тождество:

a^log_ab = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Свойства логарифмов (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0):

log_a(bc) = log_ab + log_ac

log_a(b/c) = log_ab - log_ac

log_ab^p = p · log_ab

log_aa = 1

log_a1 = 0

Свойства степени положительного числа (a - положительное число, r и s - рациональные числа):

a^r · a^s = a^r+s

a^r : a^s = a^r-s

(a^r)^s = a^r·s

a⁰ = 1

Свойства показательной функции y = a^x, a > 0, a ≠ 1:

область определения: D(y) = (-∞; +∞);
область значения: E(y) = (0; +∞);
монотонность: при a > 1 функция возрастает на всей числовой прямой, при 0 < a < 1 функция убывает на всей числовой прямой.

Простейшее показательное уравнение - это уравнение вида a^x = b, где a > 0, a ≠ 1.

При b > 0: x = log_ab. При b < 0 - корней нет.

Теорема I: уравнение a^f(x) = a^g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Теорема II: при a > 1 неравенство a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству f(x) > g(x);
при 0 < a < 1 неравенство a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x).