Условия всех задач из категории B11

Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. Несомненно, что уже первобытный человек, сменив кочевье на оседлую жизнь, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в самых грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды. Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки. Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра и т.д. Потребности земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и ее частей, а следовательно, и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве.

В период экономического и культурного расцвета Древней Греции и ее колоний геометрия достигла высокого теоретического развития. Из числа выдающихся геометров Греции вопросами стереометрии интересовались Анаксагор, Демокрит, Гиппократ (V в. до н. э.). Гиппократ является в числе первых, занимавшихся решением знаменитой задачи древности – делийской задачи об удвоении куба. В школе Платона проблемы стереометрии значительно продвинулись. Один из представителей школы Платона Теетет рассмотрел восьмигранник и двадцатигранник и дал впервые теорию некоторых свойств пяти правильных многогранников. Ученик Платона Менехме впервые дал некоторую теорию конических сечений. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он собрал, обработал и привел в стройную систему дошедший до него материал. Из 13 книг его «Начал» стереометрии отведены XI-XIII книги. Собранные Евклидом сведения о стереометрии дополнил, углубил и расширил величайший математик древности Архимед. Он дал тринадцать полуправильных тел, каждое из которых ограничено правильными многоугольниками, но не одного и того же рода, и вычислил объемы тел вращения. Благодаря трудам Архимеда стереометрия достигла своего кульминационного пункта, и элементарная геометрия в современном ее понимании была окончательно установлена.

После падения Греции наблюдается длительный застой в развитии математики и стереометрии в частности, длившийся тысячу лет. Для развития стереометрии в новое время многое было сделано Кеплером. В своей «Новой стереометрии» - «стереометрии бочек» - он впервые употребил в геометрии бесконечно-малую величину. Открытие Ньютоном и Лейбницем интегрального исчисления окончательно разрешило проблему квадратуры и кубатуры.

Цилиндр - тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

r – радиус цилиндра;
d – диаметр цилиндра;
l – образующая цилиндра;
h – высота цилиндра.

Примечание: в прямом круговом цилиндре длина образующей равна длине высоты.

Объем кругового цилиндра рассчитывается по формуле:

V = π · r² · h, где

π – константная величина (≈3.1415);
r – радиус основания цилиндра;
h – высота цилиндра.

Куб - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб;

A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ - вершины куба;

a - длина ребра куба.

Объем куба рассчитывается по формуле:

V_куб = a³, где

a – длина ребра куба.

Тетраэдр - правильный многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

ABCD - тетраэдр;

A, B, C, D - вершины тетраэдра;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - ребра тетраэдра;

ABD, BCD, ACD - грани тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по формуле:

a – длина любого ребра тетраэдра.

Для успешного решения задач из данной категории вы должны: 

1. знать определения геометрических тел и их свойства;

2. уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;

3. уметь решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

4. знать формулы расчета площадей и объемов геометричеких тел.

Дано:
объем цилиндра равен 1 см³. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза.

Вопрос:
найдите объем получившегося цилиндра. Ответ дайте в см³.

Дано:
прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4.

Вопрос:
найдите его объем.

Дано:
кубик весит 800 грамм.

Вопрос:
сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 2 раза меньше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала?

Дано:
правильный тетраэдр

Вопрос:
во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шесть раз?