Условия всех задач из категории C6
Историческая справка и теоретические сведения
Натуральное число - число, возникающее естественным образом при счете.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные) числа натуральными не являются.
Делимость - одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления.
Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует также целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b.
a = b · q, где
a - делимое;
b - делитель;
q - частное.
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел b1, b2, b3,... (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определенное число q (знаменатель прогрессии), где
b1 ≠ 0, q ≠ 0
b2 = b1 · q; b3 = b2 · q; bn = bn-1 · q
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
bn = b1 · qn-1
Если b1 > 0 и q > 1, то прогрессия является возрастающей последовательностью.
Если 0 < q < 1, то прогрессия является убывающей последовательностью.
Если q < 0, то прогрессия является знакочередующейся.
Методические указания
Для успешного решения задач из данной категории вы должны знать:
какие числа называются натуральными;
свойства и признаки делимости;
определения арифметической и геометрической прогрессии и их свойства.
Задача №1
Дано:
каждое из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают.
Вопрос:
какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Задача №2
Дано:
пять различных натуральных чисел.
Вопрос:
можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?
Задача №3
Дано:
натуральные числа m и n таковы, что и m3 + n, и m + m3 делится на m2 + n2.
Вопрос:
найдите m и n.
Задача №4
Дано:
уравнение вида a! + 5a + 13 = b2, где a! = 1 · 2 · ... · a - произведение всех натуральных чисел от 1 до a.
Вопрос:
решите в натуральных числах уравнение.