Условия всех задач из категории B8

 
 
 
 

Историческая справка и теоретические сведения

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3r2.

Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита x, y, z, ... - известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.

В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется стечением времени. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями.

 

График функции - множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты - соответствующими значениями функции у.

Касательная - прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой.

Существование производной функции f в точке x0 эквивалентно существованию    (невертикальной)   касательной   в   точке (x0; f(x0)) графика функции, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x0). В этом и состоит геометрический смысл производной.

Также  известно,  что  значение  производной  в  точке, то есть f '(x0), равно тангенсу угла наклона касательной графика функции f(x) в точке с абсциссой x0 к положительному направлению оси Ox:

f '(x0) = tgα

Примечание: если рассматривается угол наклона к отрицательному направлению оси Ox, то:

f '(x0) = - tgα

Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

 

Критические точки - внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Признак максимума функции: если функция f непрерывна в точке x0, а f '(x0) > 0 на интервале (a; x0) и f '(x0) < 0 на интервале (x0; b), то точка x0 является точкой максимума функции.

Признак минимума функции: если функция f непрерывна в точке x0, а f '(x0) < 0 на интервале (a; x0) и f '(x0) > 0 на интервале (x0; b), то точка x0 является точкой минимума функции.

Точки экстремума - точки максимума и минимума.

 

Промежутки монотонности функции - промежутки, на которых функция возрастает (убывает).

Функция f возрастает на множестве x, если для любых x1 и x2 из множества x,  таких,  что x1 < x2,  выполняется  неравенство f(x1) < f(x2).

Функция f убывает  на  множестве x,  если  для  любых x1 и x2 из  множества x,  таких,  что x1 < x2, выполняется  неравенство f(x1) > f(x2).

Теорема I (необходимое и достаточное условие возрастания функции):
если дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)  0.

 

Методические указания

Для успешного решения задач из данной категории вы должны:

  1. уметь читать график функции и график производной функции;

  2. знать геометрический смысл производной;

  3. знать определение касательной и уметь находить угловой коэффициент касательной;

  4. знать чему равен тангенс угла;

  5. уметь находить расстояние между двумя точками;

  6. уметь определять промежутки возрастания и убывания функции по графику ее производной;

  7. уметь находить точки экстремума, точки максимума и минимума функции на отрезке по графику ее производной;

  8. уметь детерминировать по графику функции точки, в которых производная функции равна нулю.

 
 
 
 

Задача №1

Дано:
на рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

 

Вопрос:
найдите значение производной функции f(x) в точке x0.  

 
 
 
 
 
 

Задача №2

Дано:
материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат – расстояние s в метрах.

 

Вопрос:
определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в нуль (начало и конец движения не учитывайте).

 
 
 
 
 
 

Задача №3

Дано:
на рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (– 8; 4).

 

Вопрос:
найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [– 7; 0].

 
 
 
 
 
 

Задача №4

Дано:
на рисунке изображен график функции y = f(x).

 

Вопрос:
найдите среди точек x1, x2, x3, x4, x5 и x6 те точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответ запишите количество найденных точек.

 
 
 
 
 
 
© 2011-2022 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?