Дано:
неравенство вида

log₅(x + 2) + log₅(1 - x) ≤ log₅((1 - x)(x² - 8x - 8))

Вопрос:
решите неравенство.

Детерминируем область определения:

Решим (1) неравенство системы x + 2 > 0.

x + 2 > 0       `=>`       x > - 2

Решим (2) неравенство системы 1 - x > 0.

1 - x > 0       `=>`      -x>-1   / · (-1)       `=>`      (-1)(-x) < (-1)(-1)       `=>`      x < 1

Решим (3) неравенство системы (1 - x)(x² - 8x - 8) > 0. Решим его методом интервалов.

(1 - x)(x² - 8x - 8) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

1 - x = 0       `=>`      -x = -1       `=>`      x₁ = 1

x² - 8x - 8 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = - 8 и c = - 8.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (- 8)² - 4 · 1 · (- 8) = 64 + 32 = 96

Так как D > 0 (96 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(- 2) = (1 - (- 2))((- 2)² - 8 · (- 2) - 8) = 3 · 12 = 36 > 0
f(0) = (1 - 0)(0² - 8 · 0 - 8) = 1 · (- 8) = - 8 < 0
f(2) = (1 - 2)(2² - 8 · 2 - 8) = (- 1) · (- 20) = 20 > 0
f(10) = (1 - 10)(10² - 8 · 10 - 8) = (- 9) · 12 = - 108 < 0

x ϵ (- ∞; 4 - 2`sqrt(6)`) ᴜ (1; 4 + 2`sqrt(6)`)

Консолидируем рассчитанные значения х:

Получим:

Область определения: x ϵ (- 2; 4 - 2`sqrt(6)`)

Преобразуем заданное неравенство:

log₅(x + 2) + log₅(1 - x) ≤ log₅((1 - x)(x² - 8x - 8))

log₅(x + 2)(1 - x) ≤ log₅((1 - x)(x² - 8x - 8))

Воспользуемся следующим правилом:

log_af(x) ≤ log_ag(x), если a > 1, то f(x) ≤ g(x)

a = 5 > 1, следовательно:

(x + 2)(1 - x) ≤ (1 - x)(x² - 8x - 8)

Так как x = 1 не принадлежит области определения, то разделим левую и правую части неравенства на (1 - x). Причем знак неравенства не меняется, так как х является отрицательным числом:

x + 2 ≤ x² - 8x - 8       `=>`      x² - 8x - 8 - x - 2 ≥ 0       `=>`      x² - 9x - 10 ≥ 0

Решим методом интервалов:

x² - 9x - 10 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = - 9 и c = - 10.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (- 9)² - 4 · 1 · (- 10) = 81 + 40 = 121

Так как D > 0 (121 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(- 2) = (- 2)² - 9 · (- 2) - 10 = 4 + 18 - 10 = 12 > 0
f(0) = 0² - 9 · 0 - 10 = - 10 < 0
f(11) = 11² - 9 · 11 - 10 = 121 - 99 - 10 = 12 > 0

x ϵ (- ∞; - 1] ᴜ [10; + ∞)

Учитывая область определения:

x ϵ (- 2; - 1]

1. определили область определения: x ϵ (- 2; 4 - 2`sqrt(6)`);

2. преобразовали заданное неравенство. Его решением является x ϵ (- ∞; - 1] ᴜ [10; + ∞);

3. учитывая область определения, детерминировали решение поставленного неравенства x ϵ (- 2; - 1].