Дано:
камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = -5t² + 18t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с мосента броска.

Вопрос:
сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Определим момент времени, когда камень находился на высоте не менее 9 метров. Для этого решим неравенство h(t) ≥ 9:

-5t² + 18t ≥ 9 

-5t² + 18t - 9 ≥ 0

Умножим обе части уравнения на (-1):

-5t² + 18t - 9 ≥ 0     / · (-1)     `rArr`     5t² - 18t + 9 ≥ 0

Решим полученное квадратное нестрогое неравенство методом интервалов. Для этого рассмотрим следующее уравнение:

5t² - 18t + 9 = 0

Это полное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 5, b = -18 и c = 9.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (-18)² - 4 · 5 · 9 = 324 - 180 = 144

Так как D > 0 (144 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

Получили два различных корня. Логично, что на одном расстоянии от поверхности земли камень будет находиться дважды – когда он летит вверх и когда летит вниз на поверхность. Первый раз – через 0.6 секунды – камень оказывается на расстоянии от поверхности в 9 метров, далее камень летит выше, достигает пиковой точки и начинает опускаться вниз и через 3 секунды он опять оказывается на расстоянии в 9 метров. То есть в период с t₁ = 0.6 до t₂ = 3 камень находился на высоте более 9 метров.

Найдем время, которое камень находился на высоте более 9 метров. Оно равно расстоянию между моментами времени t₂ и t₁:

[время] = t₂ - t₁ = 3 - 0.6 = 2.4 [с]

1. решили неравенство h(t) ≥ 9. Получили два корня t₁ = 0.6 и t₂ = 3;

2. определили время, которое камень находился на высоте не менее 9 метров. Получили 2.4 секунды.