Дано:
уравнение вида

cos2x = 1 - cos(π/2 - x)

Вопрос:
решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [- 5π/2; - π).

Преобразуем заданное уравнение, используя следующие соотношения cos2x = 1 - 2sin²x и cos(π/2 - x) = sinx:    

cos2x = 1 - cos(π/2 - x)

1 - 2sin²x = 1 - sinx

sinx - 2sin²x = 1 - 1

sinx - 2sin²x = 0

sinx · (1 - 2sinx) = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а остальные отличны от 0:

sinx = 0               `=>`       x₁ = πk, k ϵ Z

1 - 2sinx = 0       `=>`       sinx = 1/2       `=>`       x₂ = (-1)^kπ/6 + πk, k ϵ Z

Из множества найденных решений отберем корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π).

Рассмотрим корни x₁ = πk, k ϵ Z:

- 5/2 = -2.5, следовательно: -2.5 ≤ k ≤ -1, то есть k = -2.

k = -2:   x₁ = π · (-2) = -2π

Промежуточный вывод: только корень -2π из множества x₁ принадлежат отрезку [-5π/2; -π).

Рассмотрим множество корней x₂ = (-1)^kπ/6 + πk, k ϵ Z:

Сформируем процессинговую таблицу:

Промежуточный вывод: корни - 11π/6 и - 7π/6 из множества x₂ принадлежат отрезку [-5π/2; -π).

1. преобразуем заданное уравнение и решим его. Найденные множества корней: x₁ = πk, k ϵ Z и x₂ = (-1)^kπ/6 + πk, k ϵ Z.

2. среди множества найденных решений исходного уравнения определим корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π). Из множества x₁ данному отрезку принадлежит только корень -2π; из множества x₂ корни - 11π/6 и - 7π/6.