Дано:
на доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

Вопрос:
а) сколько чисел написано на доске?
б) каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

а) Пусть a₁ - количество положительных чисел; a₂ - количество отрицательных чисел; a₃ - количество нулей.

По определению, среднее арифметическое n чисел равно:

Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое. Поэтому:

4 · a₁ - 8 · a₂ + 0 · a₃ = -3(a₁ + a₂ + a₃)

4a₁ - 8a₂ = -3(a₁ + a₂ + a₃)

4(a₁ - 2a₂) = -3(a₁ + a₂ + a₃)

Так как левая часть делится на 4, то для выполнения равенства необходимо, чтобы сумма a₁ + a₂ + a₃ так же делилась на 4.

По условию: 40 < a₁ + a₂ + a₃ < 48

Между числами 40 и 48 только число 44 делится на 4, следовательно:

a₁ + a₂ + a₃ = 44

Таким образом, на доске написано 44 числа.

б) Преобразуем выражение:

4a₁ - 8a₂ = -3(a₁ + a₂ + a₃)

4a₁ - 8a₂ = -3a₁ - 3a₂ - 3a₃

3a₂ - 8a₂ = -3a₁ - 4a₁ - 3a₃

- 5a₂ = -7a₁ - 3a₃     / · (-1)

5a₂ = 7a₁ + 3a₃

Так как a₃ ≥ 0, получаем, что: 5a₂ ≥ 7a₁. Откуда: a₂ > a₁.

Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) Подставим значение суммы a₁ + a₂ + a₃ = 44 в правую часть равенства:

4a₁ - 8a₂ = -3(a₁ + a₂ + a₃)

Тогда:

4a₁ - 8a₂ = -3 · 44       `rArr`       4a₁ - 8a₂ = -132       `rArr`      4a₁ = -132 + 8a₂

Так как a₁ + a₂ ≤ 44, получаем:

-33 + 2a₂ + a₂ ≤ 44       `rArr`      3a₂ ≤ 44 + 33       `rArr`      3a₂ ≤ 77

Количество чисел не может быть дробным, следовательно:

a₂ ≤ 25

Тогда:

a₁ = -33 + 2a₂

a₁ ≤ -33 + 2a₂       `rArr`      a₁ ≤ -33 + 2 · 25       `rArr`      a₁ ≤ -33 + 50       `rArr`      a₁ ≤ 17

То есть положительных чисел не более 17.