Дано:
сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна `sqrt(5)`.

Вопрос:
найдите угол между плоскостью A₁BC и плоскостью основания призмы.

∆ABC - равносторонний (следует из определения правильной треугольной призмы). Следовательно: 

AB = BC = AC = 2

∆A₁BC - равнобедренный, так как A₁C = A₁B = `sqrt(5)`

Обозначим за H середину ребра BC.

CH = BH = 1/2 · BC = 1/2 · 2 = 1

Так как AH ⊥ BC и A₁H ⊥ BC, следовательно, ∠A₁HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA₁.

Рассмотрим ∆A₁AB. Он прямоугольный, так как ∠A₁AB = 90°.

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

A₁B² = AA₁² + AB²

Рассмотрим ∆AHB. Он прямоугольный, так как ∠AHB = 90°.

По теореме Пифагора:

AB² = AH² + BH²

Рассмотрим ∆HAA₁. Он прямоугольный, так как ∠A₁AH = 90°.

Следовательно, ∠A₁HA = 30°.

1. проанализировали заданную правильную треугольную призму;

2. рассмотрели ΔABC. AB = BC = AC = 2;

3. рассмотрели ΔA₁BC. Нашли длину CH = BH = 1;

4. рассмотрели ΔA₁AB. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину AA₁ = 1;

5. рассмотрели ΔAHB. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину AH = `sqrt(3)`;

6. рассмотрели ΔHAA₁. Определили ∠A₁HA = 30°.