Дано:
система неравенств вида

Вопрос:
решите систему неравенств.

Найдем область определения:

Рассмотрим и решим (1) неравенство системы x² - x - 2 > 0.

Для этого воспользуемся методом интервалов:

x² - x - 2 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 1 и c = – 2.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (–1)² - 4 · 1 · (– 2) = 1 + 8 = 9

Так как D > 0 (9 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(–2) = (–2)² + (–2) – 2 = 4 + 2 – 2 = 4 > 0
f(0) = 0² – 0 – 2 = – 2 < 0
f(3) = 3² – 3 – 2 = 9 – 3 – 2 = 4 > 0

x ϵ (– ∞; – 1) ᴜ (2; + ∞)

Рассмотрим и решим (2) неравенство системы

Решим методом интервалов:

(x + 1)(x - 2) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

x + 1 = 0       `=>`       x₁ = – 1

x - 2 = 0        `=>`       x₂ = 2

x ϵ (– ∞; – 1) ᴜ (2; + ∞)

Решим (3) неравенство системы x - 2 ≠ 0:

x - 2 ≠ 0        `=>`       x ≠ 2

Консолидируем рассчитанные значения x:

Получим:

Область определения: x ϵ (– ∞; – 1) ᴜ (2; + ∞)

Решим (I) неравенство искомой системы:

4^x ≤ 9 · 2^x + 22       `=>`       (2^x)² ≤ 9 · 2^x + 22

Пусть t = 2^x (t > 0), тогда:

t² ≤ 9t + 22       `=>`       t² - 9t - 22 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

t² - 9t - 22 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 9 и c = – 22.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (–9)² - 4 · 1 · (– 22) = 81 + 88 = 169

Так как D > 0 (169 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(–3) = (–3)² – 9 · (– 3) – 22 = 9 + 27 – 22 = 14 > 0
f(0) = 0² – 9 · 0 – 22 = – 22 < 0
f(12) = 12² – 9 · 12 – 22 = 144 – 108 – 22 = 14 > 0

Получаем:

Переходим к обратной подстановке:

Решим (I) неравенство системы:

2^x > 0 - справедливо при любых x.

Решим (II) неравенство системы:

2^x ≤ 11       `=>`       x ≤ log₂11

Получаем:

x ϵ (– ∞; log₂11]

Преобразуем (II) неравенство искомой системы:

Рассмотрим уравнение:

По определению логарифма имеем:

Воспользуемся формулой a² - b² = (a - b)(a + b):

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

Найдем итоговое значение x, объединив результаты:

x ϵ (2; log₂11]

1. детерминировали область определения: x ϵ (– ∞; – 1) ᴜ (2; + ∞);

2. решили (I) неравенство системы. Его решением является x ϵ (– ∞; log₂11];

3. решили (II) неравенство системы. Его решением является

   

4. определили итоговое значение х, объединив результаты: x ϵ (2; log₂11].