Дано:
на стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1.

Вопрос:
найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Существует два варианта решения поставленной задачи.

I вариант:

• точка касания окружности с прямой BC лежит на луче BC.

Пусть Q - точка касания окружности с прямой BC.

По теореме о касательной и секущей:

BQ² = BA · BD = (BD + AD) · BD = (1 + 2) · 1 = 3

Откуда:

BQ = `sqrt(3)`

Пусть O - точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC, проведенного через точку Q.

Рассмотрим ∆BQO. Он прямоугольный, так как ∠BQO = 90°.

Тогда:

OD = BO - BD = 2 - 1 = 1

AO = AD - OD = 2 - 1 = 1

Таким образом, точка O удалена от точек A, D и Q на одно и то же расстояние, равное 1 (AO = OD = OQ = 1).

Следовательно, O - центр искомой окружности, а ее радиус равен 1.

II вариант:

• точка касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B.

Пусть Q - точка касания окружности с прямой BC.

По теореме о касательной и секущей:

BQ² = BA · BD = (BD + AD) · BD = (1 + 2) · 1 = 3

Откуда:

BQ = `sqrt(3)`

Пусть прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC, пересекает прямую AB в точке H, а окружность вторично - в точке T.

Тогда:

∠HBQ = ∠ABC = 30° (как вертикальные углы)

Рассмотрим ∆HBQ. Он прямоугольный, так как ∠BQH = 90°.

Пусть R - радиус окружности, тогда QT = 2R.

По теореме о двух секущих:

HQ · HT = HA · HD

HQ · (HQ + QT) = (BH + BD + AD) · (BH + BD)

1 · (1 + 2R) = (2 + 1 + 2) · (2 + 1)

1 + 2R = 5 · 3

1 + 2R = 15

2R = 15 - 1

2R = 14

То есть искомый радиус равен 7.