Дано:
функция вида

f(x) = 2ax + |x² - 8x + 7|

Вопрос:
найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2ax + |x² - 8x + 7| больше 1.

Определим, раскрыв модуль, как будет выглядеть функция f(x):

а) x² - 8x + 7 ≥ 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

x² - 8x + 7 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 8 и c = 7.

Так как a + b + c = 1 + (-8) + 7 = 0, то уравнение имеет следующие корни:

x₁ = 1

x₂ = c/a = 7/1 = 7

f(0) = 0² – 8 · 0 + 7 = 7 > 0
f(2) = 2² – 8 · 2 + 7 = 4 – 16 + 7 = – 5 < 0
f(8) = 8² – 8 · 8 + 7 = 64 – 64 + 7 = 7 > 0

x ϵ (– ∞; 1] ᴜ [7; + ∞)

Тогда исходная функция примет вид:

f(x) = 2ax + x² - 8x + 7 = x² + (2a - 8)x + 7 = x² + 2(a - 4)x + 7

Ее график есть две части параболы:

• ветви направлены вверх (a = 1 > 0);

• ось симметрии:

б) x² - 8x + 7 < 0

Решим данное неравенство методом интервалов:

x² - 8x + 7 = 0

Как было рассмотрено выше, это уравнение имеет следующие корни: x₁ = 1 и x₂ = 7.

f(0) = 0² – 8 · 0 + 7 = 7 > 0
f(2) = 2² – 8 · 2 + 7 = 4 – 16 + 7 = – 5 < 0
f(8) = 8² – 8 · 8 + 7 = 64 – 64 + 7 = 7 > 0

x ϵ (1; 7)

Тогда исходная функция примет вид:

f(x) = 2ax - (x² - 8x + 7) = 2ax - x² + 8x - 7 = -x² + 2(a + 4)x - 7

Ее график есть часть параболы:

• ветви направлены вниз (a = -1 < 0);

• ось симметрии:

Изобразим схематично все возможные виды графика функции f(x):

Наименьшее значение функция f(x) = 2ax + |x² - 8x + 7| будет принимать в трех случаях: при x = 1; x = 7; x = 4 - a.

Составим и решим систему неравенств:

Решим (3) неравенство системы: 2a² - 8a + 1 - |a² - 9| < 0

1) a² - 9 ≥ 0

Решим методом интервалов:

a² - 9 = 0       `rArr`       a² - 3² = 0       `rArr`       (a - 3)(a + 3) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

a - 3 = 0       `rArr`       a₁ = 3

a + 3 = 0       `rArr`       a₂ = -3

f(–4) = (–4 – 3)(–4 + 3) = –7 · (–1) = 7 > 0
f(1) = (1 – 3)(1 + 3) = – 2 · 4 = – 8 < 0
f(4) = (4 – 3)( 4 + 3)= 1 · 7 = 7 > 0

Получаем:

По условию системы неравенств a > 1/2, следовательно:

a ≤ - 3 не удовлетворяет этому условию.

Имеем:

Решим (II) неравенство системы:

a² - 8a + 10 < 0

Решим методом интервалов:

a² - 8a + 10 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 8 и c = 10.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (–8)² - 4 · 1 · 10 = 64 – 40 = 24

Так как D > 0 (24 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(0) = 0² – 8 · 0 + 10 = 10 > 0
f(2) = 2² – 8 · 2 + 10 = 4 – 16 + 10 = – 2 < 0
f(7) = 7² – 8 · 7 + 10 = 49 – 56 + 10 = 3 > 0

Получаем:

2) a² - 9 < 0

Решим методом интервалов:

a² - 9 = 0

Как было рассмотрено выше, это уравнение имеет следующие корни: a₁ = -3 и a₂ = 3.

f(–4) = (–4 – 3)(–4 + 3) = –7 · (–1) = 7 > 0
f(1) = (1 – 3)(1 + 3) = – 2 · 4 = – 8 < 0
f(4) = (4 – 3)( 4 + 3)= 1 · 7 = 7 > 0

Получаем:

С учетом условия a > 1/2 имеем: 1/2 < a < 3.

Тогда:

Решим (II) неравенство системы:

3a² - 8a - 8 < 0

Решим методом интервалов:

3a² - 8a - 8 = 0

Получили полное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 3, b = – 8 и c = – 8.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (–8)² - 4 · 3 · (–8) = 64 + 96 = 160

Так как D > 0 (160 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(– 1) = 3 · (–1)² – 8 · (–1) – 8 = 3 + 8 – 8 = 3 > 0
f(0) = 3 · 0² – 8 · 0 – 8 = – 8 < 0
f(4) = 3 · 4² – 8 · 4 – 8 = 48 – 32 – 8 = 8 > 0

Получаем:

1/2 < a < 3

Найдем итоговое значение a, объединив результаты:

3 ≤ a < 4 + `sqrt(6)`

1/2 < a < 3

a ϵ (1/2; 4 + `sqrt(6)`)