Дано:
зависимость объема спроса q [тыс. руб.] на продукцию предприятия–монополиста от цены p [тыс. руб.] задается формулой q = 85 - 5p. Выручка предприятия за месяц r [тыс. руб.] вычисляется по формуле r(p) = q · p.

Вопрос:
определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 300 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

По условию задачи выручка предприятия за месяц вычисляется по формуле:

r(p) = q · p

Подставив в эту формулу зависимость объема спроса q на продукцию предприятия от цены p (q = 85 - 5p), получим:

r(p) = q · p = (85 - 5p) · p = 85p - 5p²

Поскольку из условия задачи известно, что месячная выручка r(p) должна составить не менее 300 тыс. руб., то составим и решим неравенство:

r(p) ≥ 300     `=> `    85p - 5p² ≥ 300     `=>`     -5p² + 85p - 300 ≥ 0 

Разделим обе части неравенства на (-5):

-5p² + 85p - 300 ≥ 0     /:(-5)     `=>`     p² - 17p + 60 ≤ 0

Решим полученное квадратное нестрогое неравенство методом интервалов. Для этого рассмотрим следующее уравнение:

p² - 17p + 60 = 0

Для данного уравнения a = 1, b = -17, c = 60. Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (-17)² - 4 · 1 · 60 = 289 - 240 = 49

Так как D > 0 (49 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

Определим знаки функции:

• при p = 0:       0² - 17 · 0 + 60 = 60 > 0

• при p = 10:     10² - 17 · 10 + 60 = 100 - 170 + 60 = 160 - 170 = -10 < 0

• при p = 15:     15² - 17 · 15 + 60 = 225 - 255 + 60 = 285 - 255 = 30 > 0

Нас интересуют интервалы, на которых p – величина отрицательная (так как знак неравенства p² - 17p + 60 ≤ 0), следовательно:

p ϵ [5; 12]

Наибольшим значением из отрезка [5; 12] является число 12.

1. подставив в формулу выручки предприятия за месяц (r(p) = q · p) зависимость объема спроса q на продукцию предприятия от цены p (q = 85 - 5p), получили уравнение: r(p) = 85p - 5p²;

2. составили и решили неравенство: 85p - 5p² ≥ 300;

3. определили наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 300 тыс. руб. Наибольшая цена составила 12 тыс. руб.