Дано:
функция вида

y = x³ + 6x² + 9x + 21

Вопрос:
найдите наименьшее значение функции y = x³ + 6x² + 9x + 21 на отрезке [-3; 0].

I. Проанализируем заданную функцию y = x³ + 6x² + 9x + 21:

• область определения: x ϵ (-∞; +∞);

• область значений: y ϵ (-∞; +∞)

II. Найдем производную данной функции:

y' = (x³ + 6x² + 9x + 21)' = 3x^{3 - 1} + 2 · 6 · x^{2 - 1} + 9 · x^{1 - 1} + 0 = 3x² + 12x + 9

III. Найдем значения х, при которых производная функции равна нулю:

3x² + 12x + 9 = 0 

Разделим обе части уравнения на 3:

3x² + 12x + 9 = 0   /: 3      `=>`      x² + 4x + 3 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 4 и c = 3.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4

Так как D > 0 (4 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

IV. Определим какие значения x₁ и x₂ принадлежат отрезку [-3, 0]:

x₁ = -3

Значение x₁ = -3 принадлежит промежутку [-3, 0].

x₂ = -1

Значение x₂ = -1 принадлежит промежутку [-3, 0].

V. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

y(-3) = (-3)³ + 6 · (-3)² + 9 · (-3) + 21 = -27 + 54 - 27 + 21 = 21

y(-1) = (-1)³ + 6 · (-1)² + 9 · (-1) + 21 = -1 + 6 - 9 + 21 = 17

y(0)  = 0³ + 6 · 0² + 9 · 0 + 21 = 21

VI. Из трех рассчитанных значений: 21, 17 и 21 необходимо выбрать минимальное. Очевидно, что минимальным является число 17.
Таким образом, наименьшее значение данной функции равно 17 и достигается ею во внутренней точке x = -1.

1. проанализировали заданную функцию;

2. нашли производную данной функции: y' = 3x² + 12x + 9;

3. детерминировали критические точки функции. Получили x₁ = -3 и x₂ = -1;

4. проверили, принадлежат ли полученные значения x₁ и x₂ отрезку [-3; 0]. После проверки x₁ и x₂ оказывается, что принадлежат отрезку [-3; 0];

5. вычислили значения функции в критических точках и на концах отрезка [-3; 0]. Получили y(-3) = 21, y(-1) = 17 и y(0) = 21;

6. выбрали из рассчитанных значений минимальное. Наименьшее значение данной функции равно 17 и достигается ею во внутренней точке x = -1.