Дано:
функция вида

y = x² - 3x + lnx + 5

Вопрос:
найдите наименьшее значение функции y = x² - 3x + lnx + 5 на отрезке [3/4; 5/4].

I. Проанализируем заданную функцию y = x² - 3x + lnx + 5:

• область определения: x ϵ (0; +∞);

• область значений: y ϵ (-∞; +∞).

II. Найдем производную данной функции:

III. Найдем значения х, при которых производная функции равна нулю:

Умножим обе части уравнения на x (x ≠ 0, так как x > 0):

Получили полное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 2, b = -3 и c = 1.
Так как a + b + c = 2 + (-3) + 1 = 3 - 3 = 0, то уравнение имеет следующие корни:

IV. Определим какие значения x₁ и x₂ принадлежат отрезку [3/4, 5/4]:

x₁ = 1 = 4/4

Значение x₁ = 1 принадлежит промежутку [3/4, 5/4].

x₂ = 0.5 = 1/2 = 2/4

Значение x₂ = 0.5 не принадлежит промежутку [3/4, 5/4].

V. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

y(1) = (1)² - 3 · 1² + ln1 + 5 = 1 - 3 + 0 + 5 = 3

VI. Из трех полученных значений:

необходимо выбрать минимальное. 
Очевидно, что минимальным является число 3, потому что числа 5/16 + ln(3/4) и 2 13/16 + ln(5/4) иррациональны, их нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

Таким образом, наименьшее значение данной функции равно 3 и достигается ею во внутренней точке x = 1.

1. проанализировали заданную функцию;

2. нашли производную данной функции: y' = 2x - 3 + 1/x;

3. детерминировали критические точки функции. Получили x₁ = 1 и x₂ = 0.5;

4. проверили, принадлежат ли полученные значения x₁ и x₂ отрезку [3/4; 5/4]. После проверки оказывается, что x₁ принадлежат отрезку [3/4; 5/4], а x₂ не принадлежат отрезку [3/4; 5/4];

5. вычислили значения функции в критических точках и на концах отрезка [3/4; 5/4]. Получили:

   

6. выбрали из полученных значений минимальное. Наименьшее значение данной функции равно 3 и достигается ею во внутренней точке x = 1.