Дано:
функция вида

y = 9x - 8sinx + 7

Вопрос:
найдите наибольшее значение функции y = 9x - 8sinx + 7 на отрезке [-π/2; 0].

I. Проанализируем заданную функцию y = 9x - 8sinx + 7:

• область определения: x ϵ (-∞; +∞);

• область значений: y ϵ (-∞; +∞).

II. Найдем производную данной функции:

y' = (9x - 8sinx + 7)' = 9x^{1 - 1} - 8 · cosx + 0 = 9 - 8cosx 

III. Найдем значения х, при которых производная функции равна нулю:

9 - 8cosx = 0 

Данное уравнение не имеет решения, так как [значение cosx] ϵ [-1; 1].

VI. Критических точек, принадлежащих отрезку [-π/2; 0] нет, найдем значения функции на концах отрезка:

y(0)  = 9 · 0 - 8 · sin0 + 7 = 0 - 8 · 0 + 7 = 7

V. Из двух полученных значений: 15 - 4.5π и 7 необходимо выбрать максимальное. Очевидно, что максимальным является число 7, потому что число 15 - 4.5π иррациональное, его нельзя записать в виде десятичной дроби.

Таким образом, наибольшее значение данной функции равно 7 и достигается на правой границе отрезка.

1. проанализировали заданную функцию;

2. нашли производную данной функции: y' = 9 - 8cosx;

3. детерминировали критические точки функции. Получили, что критических точек нет;

4. вычислили значения функции на концах отрезка [-π/2; 0]. Получили y(-π/2) = 15 - 4.5π и y(0) = 7;

5. выбрали из полученных значений максимальное. Наибольшее значение данной функции равно 7 и достигается на правой границе отрезка.