Дано:
функция вида

y = (x² - 7x + 7) · e^{x - 5}

Вопрос:
найдите наименьшее значение функции y = (x² - 7x + 7) · e^{x - 5} на отрезке [4; 6].

I. Проанализируем заданную функцию y = (x² - 7x + 7) · e^{x - 5}:

• область определения: x ϵ (-∞; +∞);

• область значений: y ϵ (-∞; +∞).

II. Найдем производную данной функции, применив правило для вычисления производной произведения двух функций ((f(x)g(x))' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x)):

y' = ((x² - 7x + 7) · e^{x - 5})' = (x² - 7x + 7)' · e^{x - 5} + (x² - 7x + 7) · (e^{x - 5})' =

   = (2x^2-1 - 7x^1-1 + 0) · e^{x - 5} + (x² - 7x + 7) · e^{x - 5} = (2x - 7) · e^{x - 5} + (x² - 7x + 7) · e^{x - 5} =

   = (2x - 7 + x² - 7x + 7) · e^{x - 5} = (x² - 5x) · e^{x - 5} = x · e^{x - 5} (x - 5)

III. Найдем значения х, при которых производная функции равна нулю:

x · e^{x - 5} (x - 5) = 0 

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие отличны от нуля, то есть:

• x₁ = 0;

• e^{x₂ - 5} = 0 – корней нет;

• x₃ - 5 = 0      `rArr`       x₃ = 5.

IV. Детерминируем какие из значений x₁ и x₃ принадлежат отрезку [4, 6]:

x₁ = 0

Значение x₁ = 0 не принадлежит промежутку [4, 6].

x₃ = 5

Значение x₃ = 5 принадлежит промежутку [4, 6].

V. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

y(4) = (4² - 7 · 4 + 7) · e^{4 - 5} = (16 - 28 + 7) · e^-1 = -5e^-1 = -5/e

y(5) = (5² - 7 · 5 + 7) · e^{5 - 5} = (25 - 35 + 7) · e⁰ = -3

y(6)  = (6² - 7 · 6 + 7) · e^{6 - 5} = (36 - 42 + 7) · e¹ = e

VI. Из трех рассчитанных значений: -5/e, -3 и e необходимо выбрать минимальное. Очевидно, что минимальным является число -3, потому что числа -5/e и e иррациональны, их нельзя записать в виде десятичной дроби.

Таким образом, наименьшее значение данной функции равно -3 и достигается ею во внутренней точке x = 5.

1. проанализировали заданную функцию;

2. нашли производную данной функции: y' = x · e^{x - 5} (x - 5);

3. детерминировали критические точки функции. Получили x₁ = 0 и x₃ = 5;

4. проверили, принадлежат ли полученные значения x₁ и x₂ отрезку [4; 6]. После проверки оказывается, что x₁ не принадлежит отрезку [4; 6], а x₂ принадлежит отрезку [4; 6];

5. вычислили значения функции в критических точках и на концах отрезка [4; 6]. Получили  y(4) = -5/e,  y(5) = -3 и y(6) = e;

6. выбрали из рассчитанных значений минимальное. Наименьшее значение данной функции равно -3 и достигается ею во внутренней точке x = 5.