Дано:

вершины параллелограмма имеют координаты (1;7), (9;2), (9;4), (1;9).

Вопрос:
найдите площадь параллелограмма.

I этап: выделение на заданном рисунке прямоугольной трапеции.

Повернем координатную плоскость вместе с изображенным графиком на 90° против часовой стрелки. Выделим на данном рисунке прямоугольную трапецию и обозначим ее ABCD.

Для определения площади заданного параллелограмма воспользуемся формулой:

S = S_ABCD - S_CDE, где

S      – площадь заданного параллелограмма;
S_ABCD – площадь прямоугольной трапеции;
S_CDE  – площадь прямоугольного треугольника.

II этап: определение площади трапеции ABCD.

Рассмотрим трапецию ABCD. В трапеции ABCD ∠CDE = 90°. 
Найдем длины сторон трапеции. Если у двух точек одинаковые абсциссы или одинаковые ординаты, то в таких случаях длину отрезка находят, как разность различающихся координат точек. Как видно из рисунка, представленного справа:

BC = 4 - 2 = 2 [ед]

AD = 9 - 2 = 7 [ед]

CD = 9 - 1 = 8 [ед]

Найдем площадь трапеции ABCD по формуле:

S – площадь трапеции;
a – длина верхнего основания трапеции;
b – длина нижнего основания трапеции;
h – длина высоты трапеции.

III этап: нахождение площади треугольника CDE.

Рассмотрим  ∆CDE.  Треугольник  CDE  –  прямоугольный     (∠CDE = 90°). Найдем катеты треугольника CDE:

ED = 7 - 2 = 5 [ед]

CD = 9 - 1 = 8 [ед]

Для определения площади ∆CDE воспользуемся формулой:

S – площадь прямоугольного треугольника;
a, b – катеты прямоугольного треугольника.

IV этап: детерминирование площади исходного параллелограмма ABCE.

Найдем площадь заданного параллелограмма ABCE. Для этого воспользуемся формулой:

S = S_ABCD - S_CDE
S = 36 - 20 = 16 [ед²]

1. поворачиваем координатную плоскость вместе с изображенным графиком на 90° против часовой стрелки;

2. находим площадь трапеции ABCD. Она равна 36 [ед²];

3. определяем площадь прямоугольного треугольника CDE. Расчет показал, что его площадь составила 20 [ед²];

4. детерминируем площадь заданного параллелограмма ABCE. Она равна 16 [ед²].