Дано:
на рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀.

Вопрос:
найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.  

Построим треугольник ABC с вершинами в точках A(1;-4), B(5;8) и C(5;-4).

∆ABC – прямоугольный, так как ∠ACB = 90°. 
∠BAC равен углу наклона касательной. Его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть:

Определим длины сторон BC и AC. Длина BC равна разнице ординат точек B и C, то есть:

BC = 8 - (-4) = 8 + 4 = 12

Длина AC равна разнице абсцисс точек A и C, то есть:

AC = 5 - 1 = 4

Следовательно:

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 3.

Используя геометрический смысл производной (значение производной функции в точке х = x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x₀), получим:

f ' (x₀) = tgα = 3

1. построим треугольник ABC с вершинами в точках A(1;-4), B(5;8) и C(5;-4);

2. определим длины сторон BC и AC. Расчет показал, что они равны 12 и 4 соответственно;

3. детерминируем значение производной функции f(x) в точке х_0. Оно равно 3.