Дано:
в правильной треугольной пирамиде SABC K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что AB = 6, а SK = 7.

Вопрос:
найдите площадь боковой поверхности.

I этап: доказательство, что SK – апофема.

По определению правильной пирамиды ∆ABC – равносторонний, следовательно: 

AB = BC = AC

По условию задачи AB = 6, тогда:

AB = BC = AC = 6 [ед]

Докажем, что SK – апофема.
Рассмотрим ∆BCS. По свойству правильной пирамиды (боковые ребра правильной пирамиды равны):

SB = SC

Значит, ∆BCS – равнобедренный.

По условию задачи K – середина ребра BC (BK = KC). Следовательно, SK – медиана ∆BCS.
Как известно, в равнобедренном треугольнике, биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой.
Значит SK – высота, а следовательно, является апофемой в рамках правильной пирамиды SABC.

II этап: детерминирование площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Определим площадь боковой поверхности заданной правильной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: 

P – периметр основания;
a – апофема.

Получим:

1. докажем, что SK – апофема;

2. находим, площадь боковой поверхности заданной правильной пирамиды. Она равна 63 [ед²].