Дано:
уравнение вида

6 · cos2x - 14 · cos²x - 7 · sin2x = 0

Вопрос:
решите уравнение. Укажите корни, принадлежащие отрезку [- 3π/2; - π/2].

Преобразуем заданное уравнение, используя следующие соотношения sin2x = 2 · sinx · cosx и cos2x = cos²x - sin²x:    

6 · cos2x - 14 · cos²x - 7 · sin2x = 0

6 · (cos²x - sin²x) - 14 · cos²x - 7 · (2 · sinx · cosx) = 0

6 · cos²x - 6 · sin²x - 14 · cos²x - 14 · sinx · cosx = 0

Умножим обе части уравнения на (-1):

-6 · sin²x - 14 · sinx · cosx - 8 · cos²x = 0 / · (-1)

6 · sin²x + 14 · sinx · cosx + 8 · cos²x = 0

Полученное уравнение 6 · sin²x + 14 · sinx · cosx + 8 · cos²x = 0 является однородным.

Разделим все слагаемые уравнения на cos²x ≠ 0:

Разделим обе части уравнения на 2:

3 · tg²x + 7 · tgx + 4 = 0

Обозначим tgx = t, где t ϵ (-∞; +∞).

3 · t² + 7 · t + 4 = 0

Получили полное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 3, b = 7 и c = 4.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = 7² - 4 · 3 · 4 = 49 - 48 = 1

Так как D > 0 (1 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

Тогда:

tgx₁ = t₁       `=>`       tgx₁ = -4/3       `=>`       x₁ = -arctg4/3 + πk, k ϵ Z

tgx₂ = t₂       `=>`       tgx₂ = -1          `=>`       x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z

Из множества найденных решений укажем корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2].

Рассмотрим корни:

x₁ = -arctg4/3 + πk, k ϵ Z

Изобразим схематично график функции f(x) = tgx:

На отрезке [-3π/2; -π/2] прямая f(x) = -4/3 пересекает семейство кривых f(x) = tgx в одной точке:

1: x = -arctg4/3 - π

Промежуточный вывод: только корень -arctg4/3 - π из множества x₁ принадлежат отрезку [-3π/2; -π/2].

Рассмотрим множество корней:

x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z

Сформируем процессинговую таблицу:

Промежуточный вывод: из множества x₂ только корень - 5π/4 принадлежит отрезку [-3π/2; -π/2].

1. преобразуем заданное уравнение и решим его методом почленного деления на cos²x и последующей заменой переменной. Найденные множества корней: x₁ = -arctg4/3 + πk, k ϵ Z и x₂ = - π/4 + πk, k ϵ Z.

2. среди множества найденных решений исходного уравнения определим корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]. Из множества x₁ данному отрезку принадлежит только корень -arctg4/3 - π; из множества x₂ только корень - 5π/4.