Дано:
уравнение вида

(2sin²x - cosx - 2) · log_sinxx² = 0

Вопрос:
решите уравнение.

Определим область допустимых значений x.
Рассмотрим множитель log_sinxx².

Логарифмом числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: log_ab.

Из определения: log_ab = x     `hArr`     a^x = b.

По определению логарифма имеем:

Рассмотрим (1) неравенство системы:

x² > 0

Для x = -1: x² = (-1)² = 1 > 0 истина

Для x =  1: x² = 1² = 1 > 0 истина

То есть x ϵ (-∞; 0) ᴜ (0; +∞).

Рассмотрим (2) неравенство системы:

sinx > 0

x ϵ (2πn; π + 2πn), n ϵ Z

Рассмотрим (3) неравенство системы:

sinx ≠ 1

x ≠ (π/2 + 2πn), n ϵ Z

Рассмотрим исходное уравнение:

(2sin²x - cosx - 2) · log_sinxx² = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а остальные отличны от 0.

Рассмотрим I множитель:

2sin²x - cosx - 2 = 0

Основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1     `hArr`     sin²x = 1 - cos²x

Сделаем подстановку sin²x в уравнение 2sin²x - cosx - 2 = 0:

2 · (1 - cos²x) - cosx - 2 = 0

Найдем корни полученного уравнения:

2 · (1 - cos²x) - cosx - 2 = 0

2 - 2 · cos²x - cosx - 2 = 0

- 2 · cos²x - cosx = 0

Умножит обе части уравнения на (-1):

2 · cos²x + cosx = 0

cosx · (2 · cosx + 1) = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а остальные отличны от 0.

cosx = 0     `=>`     x₁ = π/2 + πn, n ϵ Z 

Корень x₁ не удовлетворяет ОДЗ, так как: x ≠ (π/2 + 2πn), n ϵ Z; x ϵ (2πn; π + 2πn), n ϵ Z.

2 · cosx + 1 = 0     `=>`     cosx = -1/2     `=>`     x₂ = 2π/3 + 2πn, n ϵ Z     x₃ = -2π/3 + 2πn, n ϵ Z

x₂ удовлетворяет ОДЗ, а x₃ не удовлетворяет ОДЗ, так как: x ϵ (2πn; π + 2πn), n ϵ Z.

Рассмотрим II множитель исходного уравнения:

log_sinxx² = 0

По определению логарифма имеем:

x² = sin⁰x

Свойство: a⁰ = 1, где a - любое число.

x² = 1     `=>`     x² - 1 = 0

Разложим на множители левую часть уравнения, используя формулу: a² - b² = (a - b) · (a + b)

(x - 1) · (x + 1) = 0

x - 1 = 0     `=>`     x₁ = 1

Корень x₁ удовлетворяет ОДЗ.

x + 1 = 0     `=>`     x₂ = -1

Корень x₂ не удовлетворяет ОДЗ, так как: x ϵ (2πn; π + 2πn), n ϵ Z.

1. определим область допустимых значений:x ≠ (π/2 + 2πn), n ϵ Z и x ϵ (2πn; π + 2πn), n ϵ Z;

2. решим исходное уравнение. Найденные множества корней: 1 и 2/3π + 2πn, n ϵ Z.