Категория C1 • задача №4
Условие задачи
Дано:
уравнение вида
Вопрос:
решите уравнение. Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].
Решение
Используя формулу 1 + tg2x = 1/cos2x упростим заданное уравнение:
1 + tg2x + 4tgx - 6 = 0
tg2x + 4tgx - 5 = 0 (p = 4, q = -5)
Из условия задачи следует, что:
cos2x ≠ 0 `rArr` x ≠ π/2 + πn, n ϵ Z
tgx1 = 1 `rArr` x1 = arctg1 + πn = π/4 + πn, n ϵ Z
tgx2 = -5 `rArr` x2 = arctg(-5) + πn = -arctg5 + πn, n ϵ Z
Отберем корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].
Рассмотрим x1 = π/4 + πn, n ϵ Z:
7/4 = 1.75; 13/4 = 3.25, следовательно: 1.75 ≤ n ≤ 3.75, то есть n = 2, 3.
n = 2: x1 = π/4 + π · 2 = 9π/4
n = 3: x1 = π/4 + π · 3 = 13π/4
Рассмотрим x2 = -arctg5 + πn, n ϵ Z
Изобразим схематично график базовой функции f(x) = tgx на координатной плоскости:
Как видно из построенной схемы прямая f(x) = -5 пересекает семейство кривых f(x) = tgx на отрезке [2π; 7π/2] в единственной точке:
Очевидно, что:
точка 1 имеет значение равное -arctg5 + 3π.
То есть, из множества вероятных значений x2 подходит только одно -arctg5 + 3π.
Вывод: |
решением исходного уравнения являются следующие корни: π/4 + πn и -arctg5 + πn, n ϵ Z. |
Резюме
решаем заданное уравнение. Найденные множества корней: x1 = π/4 + πn, n ϵ Z и x2 = πn - arctg5, n ϵ Z.
среди множества найденных решений исходного уравнения определим корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]. Из множества x данному отрезку принадлежат корни 9π/4, 13π/4 и 3π - arctg5.
Ответ: |
π/4 + πn, πn - arctg5, n ϵ Z. Отрезку [2π; 7π/2] принадлежат корни 9π/4, 13π/4 и 3π - arctg5. |
Комментарии