Категория C1 • задача №4

 
 
 

Условие задачи

Дано:
уравнение вида

 

Вопрос:
решите уравнение. Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

 

Решение

Используя формулу 1 + tg2x = 1/cos2x упростим заданное уравнение:

1 + tg2x + 4tgx - 6 = 0

tg2x + 4tgx - 5 = 0        (p = 4, q = -5)

Из условия задачи следует, что:

cos2 0     `rArr`     x  π/2 + πn, n ϵ Z

 

tgx1 = 1      `rArr`     x1 = arctg1 + πn = π/4 + πn, n ϵ Z

tgx2 = -5     `rArr`     x2 = arctg(-5) + πn = -arctg5 + πn, n ϵ Z

 

Отберем корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Рассмотрим x1π/4 + πn, n ϵ Z:

7/4 = 1.75; 13/4 = 3.25, следовательно: 1.75  n ≤ 3.75, то есть n = 2, 3.

n = 2:   x1π/4 + π · 2 = 9π/4

n = 3:   x1π/4 + π · 3 = 13π/4

 

Рассмотрим x2-arctg5 + πn, n ϵ Z

Изобразим схематично график базовой функции f(x) = tgx на координатной плоскости: 

Как видно из построенной схемы прямая f(x) = -5 пересекает семейство кривых f(x) = tgx на отрезке [2π; 7π/2] в единственной точке:

Очевидно, что:
точка 1 имеет значение равное -arctg5 + 3π. 
То есть, из множества вероятных значений x2 подходит только одно -arctg5 + 3π.

 

Вывод:

решением исходного уравнения являются следующие корни: π/4 + πn и -arctg5 + πn, n ϵ Z.
Отрезку [2π; 7π/2] принадлежат корни 9π/4, 13π/4 и -arctg5 + 3π.

Резюме

  1. решаем заданное уравнение. Найденные множества корней: x1 = π/4 + πn, n ϵ Z и x2πn - arctg5, n ϵ Z.

  2. среди множества найденных решений исходного уравнения определим корни, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]. Из множества x данному отрезку принадлежат корни 9π/4, 13π/4 и 3π - arctg5.

 

Ответ:

π/4 + πn, πn - arctg5, n ϵ Z. Отрезку [2π; 7π/2] принадлежат корни 9π/4, 13π/4 и 3π - arctg5.

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 2
Количество просмотров: 3554
 
 
 

Категория C1 • задача №4

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
© 2011-2024 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?