Дано:
в правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3.

Вопрос:
найдите расстояние от точки B до прямой C₁D₁.

По условию задачи:

1. AB = BC = CD = DE = EF = AF = 4 [ед];

2. AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ = EE₁ = FF₁ = 3 [ед].

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Проведем диагональ в нижнем основании BE.

Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то BE || CD.

По определению правильной призмы CC₁D₁D – прямоугольник, следовательно, CD || C₁D₁.

Теорема: две прямые, параллельны третьей, параллельны.

BE || CD, C₁D₁ || CD     `=>`     BE || C₁D₁

Расстояние от точки B до прямой C₁D₁ равно расстоянию перпендикуляра между прямыми C₁D₁ и BE.

Выведем объект BC₁D₁E из заданной призмы.

BC₁D₁E – равнобочная трапеция.

Так как в правильном шестиугольнике большая диагональ равна удвоенной основе, то:

BE = 2C₁D₁ = 2 · 4 = 8 [ед]

HH₁ = C₁D₁ = 4 [ед], так как C₁D₁H₁H – прямоугольник.

Рассмотрим ∆C₁HB.

∆C₁HB – прямоугольный (∠C₁HB = 90°)

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

BH² + C₁H² = BC₁²

1. провели диагональ BE. Она равна 8 [ед];

2. проанализировали объект BC₁D₁E - равнобочная трапеция. Определили длину BH. Расчет показал, что она равна 2 [ед];

3. рассмотрели ∆C₁HB. По теореме Пифагора определили длину C₁H. Она составила `sqrt(21)` [ед].