Дано:
в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра: AB = 35, AD = 12, CC₁ = 21.

Вопрос:
найдите угол между плоскостями ABC и A₁DB.

Плоскости ABC и A₁DB пересекаются по прямой BD, следовательно, образуют двугранный угол.

Опустим перпендикуляр A₁H из вершины A₁ на BD.

Вид прямоугольного параллелепипеда сверху:

AH – проекция A₁H на плоскость ABC.

Так как A₁H ⊥ BD, то и AH ⊥ BD.

Рассмотрим треугольник BAD. Он прямоугольный, так как ∠BAD = 90°.

По теореме Пифагора (прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов):

AB² + AD² = BD²

Теорема о высоте прямоугольного треугольника: если высота длиной h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то hc = ab.

Следовательно:

AH · BD = AB · AD

Рассмотрим ∆AHA₁.

Он прямоугольный, так как ∠A₁AH = 90°. Данный треугольник содержит искомый угол, это ∠AHA₁.

∠AHA₁ = arctg(37/20)

1. опустили перпендикуляр A₁H из вершины A₁ на BD;

2. рассмотрели ∆BAD. По теореме Пифагора определили длину BD. Она составила 37 [ед];

3. с помощью теоремы о высоте прямоугольного треугольника нашли длину AH. Она равна 420/37 [ед];

4. из ∆AHA₁ детерминировали искомый угол ∠AHA₁. Он равен arctg(37/20).