Дано:
правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Вопрос:
найдите расстояние от середины ребра BC до плоскости SCD.

Обозначим за E середину ребра BC. ABCD – квадрат (следует из определения правильной четырехугольной пирамиды). Проведем диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке O.
Обозначим за L середину ребра AD. Из определения правильной четырехугольной пирамиды следует, что AD = BC и AD || BC. Так как L – середина AD, а E – середина BC, то EL || CD. Поскольку EL не лежит в плоскости SCD и параллельна прямой CD, принадлежащей этой плоскости, то EL параллельна плоскости SCD. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой. Следовательно, расстояние от точки O до плоскости SCD равно искомой величине.

Рассмотрим ΔSCD. Он равносторонний с длиной стороны 1 [ед].

Опустим из точки S на CD медиану SF. Как известно, в равностороннем треугольнике медиана также является и высотой, то есть SF ⊥ CD.

Рассмотрим ΔCFS. Он прямоугольный, так как ∠CFS = 90°.

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

SF² + FC² = CS²

Так как ABCD – квадрат, то:

Рассмотрим ΔSOF. Он прямоугольный, так как ∠SOF = 90°. По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

OS² + OF² = SF²

Опустим высоту OH из вершины O на гипотенузу SF.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника: если высота длиной h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

• h² = n · m;

• a² = c · n; b² = c · m;

• hc = a · b.

Следовательно:

OH · FS = OF · OS

1. проанализировали заданную правильную четырехугольную пирамиду;

2. рассмотрели ΔSCD. Нашли длину CF = FD = 1/2 [ед];

3. рассмотрели ΔCFS. Используя теорему Пифагора, определили длину SF = `sqrt(3)`/2 [ед]. Нашли длину OF = 1/2 [ед];

4. рассмотрели ΔSOF. С помощью теоремы Пифагора детерминировали длину OS = 1/`sqrt(2)` [ед];

5. используя теорему о высоте прямоугольного треугольника определили длину OH = 1/`sqrt(6)` [ед].