Дано:
в параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 5.

Вопрос:
найдите BC, если AB = 3.

Существует два варианта решения поставленной задачи.

I вариант: M лежит между двумя точками B и N, причем биссектрисами выступают AM и DN.

ABCD - параллелограмм;

∠BAM = ∠MAD; ∠CDN = ∠ADN;

BM : MN = 1 : 5; AB = 3.

Найти: BC (AD).

Пусть BM = x, тогда:

Как гласит одно из свойств: биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник, то есть треугольник ABM равнобедренный (∠AMB = ∠MAD, как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC. Так как ∠MAD = ∠BAM, то и ∠AMB = ∠BAM):

∠BAM = ∠AMB

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно:

AB = BM = 3

Тогда:

MN = 5x = 5 · 3 = 15

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно:

AB = CD = 3

Рассмотрим треугольник NCD.

Он равнобедренный, так как DN является биссектрисой.

∠CDN = ∠DNC, следовательно, CN = CD = 3.

Найдем длину стороны BC:

BC = BM + MN + CN = 3 + 15 + 3 = 21

II вариант: M лежит между точками B и N, причем биссектрисами выступают AN и DM.

ABCD - параллелограмм;

∠BAN = ∠NAD; ∠CDM = ∠ADM;

BM : MN = 1 : 5; AB = 3.

Найти: BC (AD)

Пусть BM = x, тогда:

Треугольник ABN - равнобедренный (∠BAN = ∠BNA),                             так как AN - биссектриса. Следовательно: 

AB = BN

BN = BM + MN = x + 5x = 6x

3 = 6x

Треугольник CDM - равнобедренный (∠CDM = ∠DMC), так как DM - биссектриса. Следовательно:

CD = CM = 3

Найдем длину стороны BC:

BC = BM + CM = 0.5 + 3 = 3.5

I вариант:

1. обозначили BM = x, тогда MN = 5x;

2. рассмотрели ∆ABM. Определили длину MN = 15;

3. рассмотрели ∆NCD. Нашли длину стороны BC = 21.

II вариант:

1. обозначили BM = x, тогда MN = 5x;

2. рассмотрели ∆ABN. Детерминировали длину BM = 0.5;

3. рассмотрели ∆CDM. Нашли длину стороны BC = 3.5.