Дано:
площадь трапеции ABCD равна 90. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N.

Вопрос:
найдите площадь четырехугольника OMPN, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Существует два варианта решения поставленной задачи.

I вариант: верхнее основание меньше нижнего основания в два раза.

Визуализируем заданную трапецию со всеми вспомогательными линиями.

ABCD - трапеция (BC || AD);

S_ABCD = 90, AC, BD - диагонали;

AP = PD, AD = 2BC

Найти: S_OMNP

Пусть BC = x, тогда AD = 2BC = 2x

Так как точка P - середина AD, то

То есть BC = AP = PD = x.

Рассмотрим четырехугольник ABCP. Как гласит один из признаков существования параллелограмма: четырехугольник является параллелограммом, если противоположные стороны равны и параллельны.

BC || AP, так как ABCD трапеция.

BC = AP = x, следовательно, ABCP - параллелограмм.

Рассмотрим четырехугольник BCDP.

BC || AP, так как ABCD трапеция,

BC = PD = x, следовательно, BCDP - параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм ABCP.

AC и BP - диагонали, пересекающиеся в точке M.

Свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Значит точка M является серединой BP.

Рассмотрим параллелограмм BCDP.

BD и CP - диагонали, пересекающиеся в точке N.

Свойство параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Значит точка N является серединой BD.

Рассмотрим ∆BCP.

точка M - середина стороны BP, следовательно, CM явояется медианой;

точка N - середина стороны CP, следовательно, BN является медианой.

Опустим высоту BH из вершины B на основание AD.

Пусть BH = h.

Вычислим площадь трапеции по формуле:

Из условия задачи известно, что S_ABCD = 90, тогда:

Рассмотрим ∆BPC. Проведем высоту PF из вершины P на сторону BC.

PF = BH = h

Вычислим площадь треугольника BPC по формуле:

b - сторона треугольника;

h - высота, проведенная к b.

Рассмотрим фигуру OMPN.

Свойство треугольника: треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Фигура OMPN составляет ровно 1/3 от площади ∆BCP, следовательно:

Учитывая, что x · h = 60 получаем:

II вариант: верхнее основание больше нижнего основания в два раза.

Визуализируем заданную трапецию со всеми вспомогательными линиями.

ABCD - трапеция (BC || AD);

S_ABCD = 90,   AC, BD - диагонали;

AP = PD, так как точка P - середина AD,

BC = 2AD

Найти: S_OMNP

Пусть AD = x, тогда BC = 2AD = 2x.

Опустим высоту AH из вершины A на основание BC.

Пусть AH = h.

Вычислим площадь трапеции по формуле:

Из условия задачи известно, что S_ABCD = 90, тогда:

Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

∠OAD = ∠OCB как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, AD и секущей AC.

∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы.

Признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Следовательно, ∆AOD ∞ ∆BOC.

Коэффициент подобия ∆AOD и ∆BOC равен:

Рассмотрим треугольники AMP и CMB.

∠MAP = ∠MCB как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, AD и секущей AC.

∠AMP = ∠BMC как вертикальные углы.

Признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Следовательно, ∆AMP ∞ ∆CMB.

Так как точка P - середина AD, то

Коэффициент подобия ∆AMP и ∆CMB равен:

Рассмотрим треугольники PDN и BNC.

∠PDN = ∠CBN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, AD и секущей AC.

∠PND = ∠BNC как вертикальные углы.

Признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Следовательно, ∆PDN ∞ ∆BNC.

Коэффициент подобия ∆PDN и ∆BNC равен:

Проведем через точку O высоту трапеции EF (точка E ϵ BC,  F ϵ AD).

EF = AH = h

Так как ∆AOD ∞ ∆BOC с коэффициентом пободия 1/2, то:

EF = OF + OE = OF + 2OF = 3OF

3OF = h

Площадь треугольника рассчитывается по формуле:

b - сторона треугольника;

h - высота, проведенная к b.

Учитывая, что x · h = 60 получаем:

S_OMPN = S_∆AOD - S_∆AMP - S_∆NDP

Проведем  через  точку  M  высоту  трапеции LK  (L  ϵ  BC,   K ϵ AD).

LK = AH = h

Так как ∆AMP ∞ ∆BMC с коэффициентом подобия 1/4, то:

KL = MK + ML = MK + 4MK = 5MK

5MK = h

Площадь треугольника рассчитывается по формуле:

b - сторона треугольника;

h - высота, проведенная к b.

Учитывая, что x · h = 60 получаем:

Проведем  через  точку  N  высоту  трапеции  SR   (S ϵ BC,   R ϵ AD).

SR = AH = h

Так как ∆PDN ∞ ∆BCN с коэффициентом подобия 1/4, то:

RS = NR + NS = NR + 4NR = 5NR = h

Площадь треугольника рассчитывается по формуле:

b - сторона треугольника;

h - высота, проведенная к b.

Учитывая, что x · h = 60 получаем:

Следовательно,

S_OMND = S_∆AOD - S_∆AMP - S_∆PND = 10 - 3 - 3 = 4

I вариант:

1. обозначили BC = x, тогда AD = 2x, AP = PD = x;

2. рассмотрели ∆BCP. Опустили высоту BH = h, нашли x · h = 60;

3. рассмотрели ∆BPC. Провели высоту PF = BH = h. Детерминировали S_∆BPC = 1/2 · x · h;

4. рассмотрели фигуру OMPN. Определили S_OMPN = 10. 

II вариант:

1. обозначили AD = x, тогда BC = 2x;

2. провели высоту AH = h, нашли x · h = 60;

3. рассмотрели ∆AOD и ∆BOC. Коэффициент подобия ∆AOD и ∆BOC равен AD/BC = 1/2;

4. рассмотрели ∆AMP и ∆CMB. Коэффициент подобия ∆AMP и ∆CMB равен AP/BC = 1/4;

5. рассмотрели ∆PDN и ∆BNC. Коэффициент подобия ∆PDN и ∆BNC равен PD/BC = 1/4;

6. провели через точку O высоту EF = AH = h. Нашли S_∆AOD = 10;

7. провели через точку M высоту LK = AH = h. Детерминировали S_∆AMP = 3;

8. провели через точку N высоту SR = AH = h. Определили S_∆PND = 3;

9. детерминировали S_OMND = 4.