Категория C4 • задача №4
Условие задачи
Дано:
в окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB = 8. Точка C лежит на хорде AB так, что AC : BC = 1 : 2.
Вопрос:
найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.
Решение
Существует два варианта решения поставленной задачи.
I вариант
O - центр заданной окружности;
OR - радиус заданной окружности (OR = 5);
AB - хорда (AB = 8);
C ϵ AB, AC : BC = 1 : 2;
O1 - центр искомой окружности;
O1C - радиус искомой окружности;
Найти: O1C
D - проекция точки O на хорду AB. Следовательно, D - середина хорды AB, то есть:
Рассмотрим ∆AOD. Он прямоугольный, так как ∠ADO = 90°.
По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
OD2 + AD2 = AO2
Пусть AC = x, тогда:
AB = AC + BC = x + 2x = 3x
8 = 3x
точка E - проекция точки O на прямую O1C.
OECD - прямоугольник, так как все углы по 90°.
В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно:
CE = OD = 3, OE = CD = 4/3
O1E = O1C + EC = O1C + 3
Рассмотрим ∆OEO1. Он прямоугольный, так как ∠OEO1 = 90°.
Проведем прямую OF через центры окружностей O и O1.
точка F - точка касания окружности с центром O и окружности с центром O1.
O1O = OF - O1F = 5 - O1F
По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
OE2 + O1E2 = OO12
(5 - O1F)2 = (O1C + 3)2 + (4/3)2
Пусть O1F = O1C = r тогда:
(5 - r)2 = (3 + r)2 + (4/3)2
Воспользуемся формулами:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
То есть искомый радиус окружности равен 8/9.
II вариант
O - центр заданной окружности;
OR - радиус заданной окружности (OR = 5);
AB - хорда (AB = 8);
C ϵ AB, AC : BC = 1 : 2;
O1 - центр искомой окружности;
O1C - радиус искомой окружности;
Найти: O1C
D - проекция точки O на хорду AB. Следовательно, D - середина хорды AB, то есть:
Рассмотрим ∆AOD. Он прямоугольный, так как ∠ADO = 90°.
По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
OD2 + AD2 = AO2
Пусть AC = x, тогда:
AB = AC + BC = x + 2x = 3x
8 = 3x
точка E - проекция точки O на прямую O1C.
OECD - прямоугольник, так как все углы по 90°.
В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно:
CE = OD = 3, OE = CD = 4/3
O1E = O1C - EC
Обозначим искомый радиус за r, тогда:
O1E = O1C - EC = r - 3
Проведем прямую OF через центры окружностей O и O1.
точка F - точка касания окружности с центром O и окружности с центром O1.
O1O = OF - O1F = 5 - r
Рассмотрим ∆OEO1. Он прямоугольный, так как ∠OEO1 = 90°.
По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
OE2 + O1E2 = OO12
(r - 3)2 + (4/3)2 = (5 - r)2
Воспользуемся формулами:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
То есть искомый радиус окружности равен 32/9.
Вывод: |
радиус окружности, касающийся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C равен 8/9 или 32/9. |
Резюме
I вариант:
определили длину AD = BD = 4;
рассмотрели ∆AOD. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину OD = 3;
обозначили AC = x. Нашли CD = 4/3;
рассмотрели прямоугольник OECD. O1E = O1C + 3;
рассмотрели ∆OEO1. O1O = 5 - O1F. По теореме Пифагора (5 - O1F)2 = (O1C + 3)2 + (4/3)2;
обозначили O1F = O1C = r, тогда (5 - r)2 = (r + 3)2 + (4/3)2;
определили искомый радиус окружности, он равен 8/9.
II вариант:
определили длину AD = BD = 4;
рассмотрели ∆AOD. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину OD = 3;
обозначили AC = x. Нашли CD = 4/3;
рассмотрели прямоугольник OECD. CE = OD = 3, O1E = O1C - 3;
обозначили O1F = O1C = r, тогда (r - 3)2 + (4/3)2 = (5 - r)2;
определили искомый радиус окружности, он равен 32/9.
Ответ: |
8/9 или 32/9 |
Комментарии