Категория C4 • задача №4

 
 
 

Условие задачи

Дано:
в окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB = 8. Точка C лежит на хорде AB так, что AC : BC = 1 : 2.

 

Вопрос:
найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C.

 

Решение

Существует два варианта решения поставленной задачи.

I вариант

O - центр заданной окружности;

OR - радиус заданной окружности (OR = 5);

AB - хорда (AB = 8);

ϵ AB, AC : BC = 1 : 2;

O1 - центр искомой окружности;

O1C - радиус искомой окружности;

Найти: O1C

D - проекция точки O на хорду AB. Следовательно, D - середина хорды AB, то есть:

 

Рассмотрим AOD. Он прямоугольный, так как ∠ADO = 90°.

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

OD2 + AD2 = AO2

Пусть AC = x, тогда:

AB = AC + BC = x + 2x = 3x

8 = 3x

 

 

 

 

точка E - проекция точки O на прямую O1C.

OECD - прямоугольник, так как все углы по 90°.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно:

CE = OD = 3, OE = CD = 4/3

O1E = O1C + EC = O1C + 3

 

Рассмотрим OEO1. Он прямоугольный, так как OEO1 = 90°.

Проведем прямую OF через центры окружностей O и O1.

точка F - точка касания окружности с центром O и окружности с центром O1.

O1O = OF - O1F = 5 - O1F

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

OE2 + O1E2 = OO12

(5 - O1F)2 = (O1C + 3)2 + (4/3)2

Пусть O1F = O1C = r тогда:

(5 - r)2 = (3 + r)2 + (4/3)2

Воспользуемся формулами:

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

То есть искомый радиус окружности равен 8/9.

 

II вариант

O - центр заданной окружности;

OR - радиус заданной окружности (OR = 5);

AB - хорда (AB = 8);

ϵ AB, AC : BC = 1 : 2;

O1 - центр искомой окружности;

O1C - радиус искомой окружности;

Найти: O1C

D - проекция точки O на хорду AB. Следовательно, D - середина хорды AB, то есть:

 

Рассмотрим AOD. Он прямоугольный, так как ∠ADO = 90°.

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

OD2 + AD2 = AO2

Пусть AC = x, тогда:

AB = AC + BC = x + 2x = 3x

8 = 3x

 

точка E - проекция точки O на прямую O1C.

OECD - прямоугольник, так как все углы по 90°.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, следовательно:

CE = OD = 3, OE = CD = 4/3

O1E = O1C - EC

Обозначим искомый радиус за r, тогда:

O1E = O1C - EC = r - 3

Проведем прямую OF через центры окружностей O и O1.

точка F - точка касания окружности с центром O и окружности с центром O1.

O1O = OF - O1F = 5 - r

 

 

Рассмотрим OEO1. Он прямоугольный, так как OEO1 = 90°.

По теореме Пифагора (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

OE2 + O1E2 = OO12

(r - 3)2 + (4/3)2 = (5 - r)2

Воспользуемся формулами:

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

  • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

То есть искомый радиус окружности равен 32/9.

 

Вывод:

радиус окружности, касающийся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C равен 8/9 или 32/9.

Резюме

I вариант:

  1. определили длину AD = BD = 4;

  2. рассмотрели AOD. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину OD = 3;

  3. обозначили AC = x. Нашли CD = 4/3;

  4. рассмотрели прямоугольник OECD. O1E = O1C + 3;

  5. рассмотрели OEO1. O1O = 5 - O1F. По теореме Пифагора (5 - O1F)2 = (O1C + 3)2 + (4/3)2;

  6. обозначили O1F = O1C = r, тогда (5 - r)2 = (r + 3)2 + (4/3)2;

  7. определили искомый радиус окружности, он равен 8/9.

II вариант:

  1. определили длину AD = BD = 4;

  2. рассмотрели AOD. Используя теорему Пифагора, детерминировали длину OD = 3;

  3. обозначили AC = x. Нашли CD = 4/3;

  4. рассмотрели прямоугольник OECD. CE = OD = 3, O1E = O1C - 3;

  5. обозначили O1F = O1C = r, тогда (r - 3)2 + (4/3)2 = (5 - r)2;

  6. определили искомый радиус окружности, он равен 32/9.

 

Ответ:

8/9 или 32/9

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 0
Количество просмотров: 1456
 
 
 

Категория C4 • задача №4

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
© 2011-2024 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?