Дано:
с центром в точке O₁, располагаемой на биссектрисе угла, равного 60°, проведена окружность радиуса 4.

Вопрос:
найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки O₁ до вершины угла равно 10.

Существует два варианта решения поставленной задачи.

I вариант: вписанная окружность располагается ближе к вершине угла нежели окружность с центром в точке O₁.

∠AOB - заданный линейный угол;

OD - биссектриса;

O₁ - центр заданной окружности;

O₁E - радиус (O₁E = 4);

O₂ - центр искомой окружности неизвестного радиуса.

E - точка касания двух окружностей;

F - точка касания окружности с центром O₂ с одной из сторон данного угла AOB.

Касательная к окружности всегда перпендикулярна ее радиусу, конец которого является точкой касания. То есть O₂F ⊥ OB, следовательно, ∠OFO₂ = 90°.

Пусть радиус искомой окружности x, то есть O₂F = x.

Рассмотрим ∆OFO₂.

Он прямоугольный, так как ∠OFO₂ = 90°.

Так как OD - биссектриса, то:

Точки O, O₂, E, O₁ лежат на одной прямой, значит:

OO₁ = OO₂ + O₁O₂ = OO₂ + O₂F + O₁E

OO₁ = 10

Из условия задачи известно, что O₁E = 4, тогда составим и решим уравнение:

10 = 2x + x + 4     `=>`     3x = 10 - 4     `=>`     3x = 6     `=>`     x = 6 : 3 = 2

То есть искомый радиус равен 2.

II вариант: вписанная окружность располагается дальше от вершины угла нежели окружность с центром в точке O₁.

∠AOB - заданный линейный угол;

OD - биссектриса;

O₁ - центр заданной окружности;

O₁E - радиус (O₁E = 4);

O₂ - центр искомой окружности неизвестного радиуса.

E - точка касания двух окружностей;

F - точка касания окружности с центром O₂ с одной из сторон данного угла AOB.

Касательная к окружности всегда перпендикулярна ее радиусу, конец которого является точкой касания. То есть O₂F ⊥ OB, следовательно, ∠OFO₂ = 90°.

Пусть радиус искомой окружности x, то есть O₂F = x.

Рассмотрим ∆OFO₂.
Он прямоугольный, так как ∠OFO₂ = 90°.

Так как OD - биссектриса, то:

Точки O, O₂, E, O₁ лежат на одной прямой.

С одной стороны OO₂ = 2х

С другой стороны OO₂ = OO₁ + O₁E + O₂F, следовательно, составим и решим уравнение:

2х = OO₁ + O₁E + O₂E     `=>`     2x = 10 + 4 + х     `=>`     2х - х = 14     `=>`     х = 14

То есть искомый радиус равен 14.

I вариант:

1. обозначили радиус искомой окружности O₂F = x;

2. рассмотрели ∆OFO₂. O₂O = 2x;

3. составили и решили уравнение OO₁ = OO₂ + O₂F + O₁E. Расчет показал, что искомый радиус O₂F равен 2.

II вариант:

1. обозначили радиус искомой окружности O₂F = x;

2. рассмотрели ∆OFO₂. O₂O = 2x;

3. составили и решили уравнение OO₂ = OO₁ + O₂F + O₁E. Расчет показал, что искомый радиус O₂F равен 14.