Дано:
уравнение вида

`sqrt(x + 2a) = x - 3`

Вопрос:
укажите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение `sqrt(x + 2a) = x - 3`  имеет единственное решение.

Используя равносильное преобразование получаем:

Преобразуем (II) уравнение системы:

x + 2a = (x - 3)²     `=>`     x + 2a = x² - 2 · x · 3 + 3²     `=>`     x + 2a = x² - 6 · x + 9

x + 2a - x² + 6 · x - 9 = 0     `=>`     -x² + 7x - 9 + 2a = 0       / · (-1)     `=>`     x² - 7x + 9 - 2a = 0

Рассмотрим (II) уравнение системы:

x² - 7x + 9 - 2a = 0

Это квадратный трехчлен у которого:

a = 1, b = -7, c = 9 - 2a

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен 0.

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 · 1 · (9 - 2a) = 49 - 4 · (9 - 2a) = 49 - 4 · 9 - 4 · (-2a) = 49 - 36 + 8a = 13 + 8a

Учитывая, что x ≥ 3, получаем:

При a = - 13/8

То есть при `a = - (13)/(8) = - 1(5)/(8)`  заданное уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим (II) уравнение системы:

x² - 7x + 9 - 2a = 0

Данное квадратное параметрическое уравнение будет иметь один подходящий корень, если:

• дискриминант будет положительным;

• один из корней меньше 3 (неподходящее значение), и второй корень больше или равен 3.

Рассмотрим функцию f(x) = x² - 7x + 9 - 2a.

Графиком данной функции является парабола, имеющая "ветви" направленные вверх, так как a ≥ 0. Изобразим схематично график функции f(x) с учетом необходимых ограничений.

• I корень < 3, то есть является неподходящим;

• II корень ≥ 3, то есть является подходящим.

Имеем следующее условие: f(3) < 0.

f(3) = 3² - 7 · 3 + 9 - 2a = 9 - 21 + 9 - 2a = 18 - 21 - 2a = -3 - 2a

-3 - 2a < 0     `=>`     - 2a < 3     `=>`     a > - 3/2

То есть при a > - 3/2 заданное уравнение имеет единственное решение.

Итак, условиям задачи удовлетворяют следующие значения a:

• a = - 13/8;

• a > - 3/2.

Наименьшим целым является a = -1.