Категория C5 • задача №2

 
 
 

Условие задачи

Дано:
прямая вида y = bx + 3

 

Вопрос:
при каких значениях b прямая y = bx + 3 является касательной к параболе f(x) = x2 - 2x + 4.

 

Решение

Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 - 2x + 4 в общем виде:

yк = f '(x0· (x - x0) + f(x0)

Найдем производную функции f(x):

f '(x) = (x2 - 2x + 4)' = 2 · x2-1 - 2 · x1-1 = 2 · x - 2 · x0 = 2x - 2

f '(x0) = 2x0 - 2

f (x0) = x02 - 2x0 + 4

yк = f '(x0· (x - x0) + f(x0) = (2x0 - 2) · (x - x0) + x02 - 2x0 + 4

Приведем подобные и получим:

yк = 2x0 · x - 2x0 · x0 - 2x - 2 · (-x0) + x02 - 2x0 + 4 = 2x0x - 2x02 - 2x + 2x0 + x02 - 2x0 + 4 = 
= 2x0x - x02 - 2x + 4 = (2x0x - 2x) - x02 + 4 = (2x0 - 2) · x - x02 + 4

Рассмотрим прямые:

  • y = b · x + 3;

  • yк = (2x0 - 2) · x - x02 + 4.

И y и yк является касательными к одному и тому же графику функций, следовательно, должны совпадать, то есть:

y =        b     · x +     3

yк = (2x0 - 2) · x - x02 + 4

Рассмотрим (II) уравнение системы:

3 = - x02 + 4     `=>`     3 + x02 - 4 = 0     `=>`     x02 - 1 = 0

Воспользуемся формулой: a2 - b2 = (a - b)(a + b)

(x0 - 1)(x0 + 1) = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть:

x0 - 1 = 0 `=>`  x0 = 1

x0 + 1 = 0 `=>`  x0 = -1

 

При x0 = 1:

b = 2x0 - 2 = 2 · 1 - 2 = 2 - 2 = 0

yк = bx + 3 = 0 · x + 3 = 3

 

При x0 = -1:

b = 2x0 - 2 = 2 · (-1) - 2 = - 2 - 2 = - 4

yк = bx + 3 = (- 4) · x + 3 = - 4х + 3

 

То есть существует две касательных:

  • y = 0 · x + 3 = 3 (b = 0)

  • y = -4x + 3 (b = -4)

 

Вывод:

при значениях b = 0 или b = -4 прямая y = bx + 3 является касательной к параболе f(x) = x2 - 2x + 4

Ответ:

0 или -4

 
Рейтинг:
 
Проголосовало: 1
Количество просмотров: 2316
 
 
 

Категория C5 • задача №2

 

Комментарии

Для комментирования или зарегистрируйтесь
 
© 2011-2024 ООО "СтадиМен". Все права сохранены.
Перепечатка и использование материалов с данного сайта, разрешена только по согласию с владельцем.
Владелец оставляет за собой право воспользоваться 146 статьей УК РФ при нарушении авторских и смежных прав.
 
 
 
 
Авторизация на сайте
 
 
 
Обнаружили
ошибку на сайте?