Дано:
система уравнений вида

Вопрос:
сколько решений имеет система в зависимости от значений параметра с?

Выразим из (1) уравнения величину у и подставим во (2) уравнение.

y – x² = c       `=>`       y = x² + c

x – y² = c, производим подстановку у:

x – (x² + c)² = c

Воспользуемся формулой (a + b)² = a² + 2ab + b²:

x – ((x²)² + 2 · x² · c + c²) = c       `=>`       x – (x⁴ + 2x²c + c²) = c       `=>`       x – x⁴ – 2x²c – c² – c = 0

Умножим обе части уравнения на (– 1):

x – x⁴ – 2x²c – c² – c = 0     / · (– 1)       `=>`       x⁴ + 2x²c – x + c² + c = 0

Рассмотрим полученное квадратное уравнение относительно с:

c² + 2x²c + c – x + x⁴ = 0       `=>`       c² + (2x² + 1)c – x + x⁴ = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 2x² + 1 и c = 2x² + 1.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² – 4ac = (2x² + 1)² –4 · 1 · (– x + x⁴) = (2x²)² + 2 · 2x² · 1 + 1² – 4(– x) – 4x⁴ =

= 4x⁴ + 4x² + 1 + 4x – 4x⁴ = 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2 · 2x · 1 + 1² = (2x + 1)²

Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

Чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант должен быть неотрицательным, следовательно:

|2x + 1| = 2x + 1

Следовательно получим систему:

Графиками функций (– x² + x) и (– x² – x – 1) являются параболы.

Детерминируем точку пересечения парабол:

– x² + x = – x² – x – 1       `=>`       – x² + x + x² + x = – 1       `=>`       2x = – 1       `=>`       x = – 1/2

Рассмотрим функцию c₁(x) = – x² + x:

Получили неполное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = – 1, b = 1 и c = 0.

c₁(x) = 0

– x² + x = 0       `=>`       x(1 – x) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

x₁ = 0                                                                  | 1 – x = 0– x = – 1     / · (– 1)       `=>`       x₂ = 1

Точки 0 и 1 нули функции.

Определим координаты вершины параболы:

(1/2; 1/4) – координаты вершины параболы графика функции c₁(x) = – x² + x. 

Рассмотрим функцию c₂(x) = – x² – x – 1:

Получили полное неприведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = – 1, b = – 1 и c = – 1.

c₂(x) = 0

– x² – x – 1 = 0     / · (– 1)       `=>`       x² + x + 1 = 0

Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² – 4ac = 1 – 4 · 1 · 1 = – 3 < 0

Поскольку дискриминант получился отрицательным, это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс.

Определим координаты вершины параболы:

(–1/2; –3/4) – координаты вершины параболы графика функции c₂(x) = – x² – x – 1. 

Изобразим схематично графики обоих функций на одной прямоугольной системе координат:

1. выразили из (1) уравнения величину у и подставили во (2) уравнение. Получили систему:

   

2. детерминировали точку пересечения парабол x = -1/2;

3. рассмотрели функцию c₁(x) = – x² + x. Определили координаты вершины параболы: (1/2; 1/4);

4. рассмотрели функцию c₂(x) = – x² – x – 1. Определили координаты вершины параболы: (-1/2; -3/4);

5. изобразили схематично графики обоих функций на одной прямоугольной системе координат.