Дано:
уравнение вида

|x - a| - |x + 1| = 2

Вопрос:
при каких a уравнение |x - a| - |x + 1| = 2 является следствием неравенства `sqrt(x^2 + 4x + 3) >= -1 - x`?

Используя равносильные преобразования заменим неравенство в следующем виде:

Рассмотрим (I) систему неравенств:

(III):    -1 - x < 0     `=>`     -x < 1     / · (-1)     `=>`     x > -1

(IV):     x² + 4x + 3 ≥ 0

Решим методом интервалов:

x² + 4x + 3 = 0   (a = 1, b = 4, c = 3)

D = b² - 4ac = 4² - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4

f(-4): (-4)² + 4 · (-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0

f(-2): (-2)² + 4 · (-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0

f(0): 0² + 4 · 0 + 3 = 3 > 0

x ϵ (-∞; -3] ᴜ [-1; +∞)

Консолидируем полученное значение:

x ϵ (-1; +∞)

Рассмотрим (II) систему неравенств:

(V):   -1 - x ≥ 0     `=>`     -x ≥ 1     / · (-1)     `=>`     x ≤ -1

(VI):  x² + 4x + 3 ≥ (-1 - x)²

Воспользуемся формулой (a - b)² = a² - 2ab + b²:

x² + 4x + 3 ≥ (-1)² - 2 · (-1) · (-x) + x²       `=>`       x² + 4x + 3 ≥ 1 + 2x + x²

x² + 4x + 3 - x² - 2x - 1 ≥ 0       `=>`       x ≥ 1 - 3       `=>`       2x ≥ -2       `=>`       x ≥ -1

Консолидируем полученное выражение:

Консолидируем значения x для (I) и (II) системы неравенств:

Рассмотрим заданное параметрическое уравнение:

|x - a| - |x + 1| = 2

Отбрасываем "ветвь" модуля -x - 1, при x < -1, так как x ϵ [-1; +∞).

Следовательно,

|x + 1| = x + 1       `=>`       |x - a| - (x + 1) = 2       `=>`       |x - a| - x - 1 = 2

|x - a| = 2 + x + 1       `=>`       |x - a| = x + 3

Задача  свелась  к  следующему  условию,  при  каких  a  множество  решений  уравнения  |x - a| = x + 3  содержит промежуток [-1; +∞)?

Разумеется, что данное уравнение должно иметь бесконечное множество решений.

Если x < a,то:

-x + a = x + 3       `=>`       -x - x = 3 - a       `=>`       -2x = 3 - a     / : (-2)

То есть образуется не более одного корня.

Если x ≥ a, то:

x - a = x + 3       `=>`       x - x = 3 + a       `=>`       0x = a + 3

Очевидно, что уравнение 0x = a + 3 имеет бесконечное количество корней, только при a = -3.

0x = -3 + 3       `=>`       0x = 0

То есть:

|x - (-3)| = x + 3       `=>`       |x + 3| = x + 3

Решением является промежуток [-3; +∞).

А промежуток [-3; +∞) содержит промежуток [-1; +∞).