Категория C5 • задача №4
Условие задачи
Дано:
уравнение вида
(x + 2a) · (x2 - a2 - 2a - 1) = 0
Вопрос:
при каких значениях параметра a произведение корней уравнения (x + 2a) · (x2 - a2 - 2a - 1) = 0 меньше наименьшего корня этого уравнения.
Решение
Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть:
x + 2a = 0 `=>` x1 = -2a
x2 - a2 - 2a - 1 = 0 `=>` x2 - (a2 + 2a + 1) = 0
Воспользуемся формулой (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
x2 - ((a)2 + 2 · a · 1 + (1)2) = 0 `=>` x2 - (a + 1)2 = 0
Воспользуемся формулой a2 - b2 = (a - b)(a + b):
(x - (a + 1)) · (x + (a + 1)) = 0 `=>` (x - a - 1) · (x + a + 1) = 0
Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть:
x - a - 1 = 0 `=>` x2 = a + 1
x + a + 1 = 0 `=>` x3 = -a - 1
Найдем произведение корней уравнения:
x1 · x2 · x3 = (-2a) · (a + 1) · (-a - 1) = (-2a) · (a + 1) · (-(a + 1)) = 2a · (a + 1) · (a + 1) = 2a · (a + 1)2
Если x1 наименьший корень, то:
Если x2 наименьший корень, то:
Если x3 наименьший корень, то:
Промежуточное резюме:
x1 - наименьший корень при a > 1;
x2 - наименьший корень при a < -1;
x3 - наименьший корень при a ϵ (-1; 1).
Искомые значения параметра найдем, решив совокупность трех систем:
2a · (a + 1)2 < -2a `=>` 2a · (a + 1)2 + 2a < 0
Решим методом интервалов:
2a · (a + 1)2 + 2a = 0 `=>` 2a · ((a + 1)2 + 1) = 0
Произведение равно 0, если:
2a = 0 `=>` a1 = 0
(a + 1)2 + 1 = 0 `=>` (a + 1)2 = -1
Левая часть уравнения (a + 1)2 является положительной при любых значениях a, следовательно, приведенное уравнение корней не имеет.
f(-1): 2 · (-1)((-1 + 1)2 + 1) = -2 · (02 + 1) = -2 · 1 = -2 < 0
f(1): 2 · 1((1 + 1)2 + 1) = 2 · (22 + 1) = 2 · (4 + 1) = 2 · 5 = 10 > 0
2a · (a + 1)2 < a + 1 `=>` 2a · (a + 1)2 - (a + 1) < 0
Решим методом интервалов:
2a · (a + 1)2 - (a + 1) = 0 `=>` (a + 1) · (2a · (a + 1) - 1) = 0
Произведение равно 0, если:
a + 1 = 0 `=>` a1 = -1
2a · (a + 1) - 1 = 0 `=>` 2a · a + 2a · 1 - 1 = 0 `=>` 2a2 + 2a - 1 = 0 (a = 2, b = 2, c = -1)
D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 2 · (-1) = 4 + 8 = 12
f(-2): (-2 + 1) · (2 · (-2)2 + 2 · (-2) - 1) = (-1) · (2 · 4 - 4 - 1) = (-1) · (8 - 4 - 1) = (-1) · 5 = -5 < 0
f(-1.1): (-1.1 + 1) · (2 · (-1.1)2 + 2 · (-1.1) - 1) = (-0.1) · (2 · 1.21 - 2.2 - 1) = (-0.1) · (2.42 - 2.2 - 1) =
= (-0.1) · (-0.78) = 0.078 > 0
f(0): (0 + 1) · (2 · 02 + 2 · 0 - 1) = 1 · (0 + 0 - 1) = 1 · (- 1) = -1 < 0
f(2): (2 + 1) · (2 · 22 + 2 · 2 - 1) = 3 · (2 · 4 + 4 - 1) = 3 · (8 + 4 - 1) = 3 · 11 = 33 > 0
Учитывая, что a < -1, имеем:
2a · (a + 1)2 < -(a + 1) `=>` 2a · (a + 1)2 + (a + 1) < 0
Решим методом интервалов:
2a · (a + 1)2 + (a + 1) = 0 `=>` (a + 1) · (2a · (a + 1) + 1) = 0
Произведение равно 0, если:
a + 1 = 0 `=>` a1 = -1
2a · (a + 1) + 1 = 0 `=>` 2a · a + 2a · 1 + 1 = 0 `=>` 2a2 + 2a + 1 = 0 (a = 2, b = 2, c = 1)
D = b2 - 4ac = 22 - 4 · 2 · 1 = 4 - 8 = -4 < 0
Действительных корней данное уравнение не имеет.
f(-2): (-2 + 1) · (2 · (-2)2 + 2 · (-2) + 1) = (-1) · (8 - 4 + 1) = (-1) · 5 = -5 < 0
f(0): (0 + 1) · (2 · 02 + 2 · 0 + 1) = 1 · (0 - 0 + 1) = 1 · 1 = 1 > 0
Учитывая, что -1 < a < 1, имеем:
Вывод: |
при `ain(-oo;-(sqrt(3)+1)/(2))` произведение корней меньше наименьшего корня данного уравнения. |
Ответ: |
`ain(-oo;-(sqrt(3)+1)/(2))` |
Комментарии