Дано:
каждое из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 умножают на каждое из чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и перед каждым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 63 полученных результата складывают.

Вопрос:
какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Произведем вычисление в II этапа:

     I. детерминируем наибольшую сумму;

    II. детерминируем наименьшую по модулю сумму.

Умножим число 5 на каждое из чисел второго набора:

5 · {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} = 

= 5 · 10 + 5 · 11 + 5 · 12 + 5 · 13 + 5 · 14 + 5 · 15 + 5 · 16 + 5 · 17 + 5 · 18

вынесем общий множитель равный 5 за скобку:

5 · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18)                                                                                                 (II)

Очевидно, что в выражениях (I) и (II) имеется идентичное слагаемое, это:

10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18

следовательно, вынесем это за скобки:

4 · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) + 5 · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) =

= (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) · (4 + 5)

Очевидно, что при перемножении каждого из чисел первого набора {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} на каждое из чисел второго набора {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} будет образовываться выражение вида:

n · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18), где

n - текущее число из первого набора.

Следовательно, сумму всех произведений можно представить в виде:

(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18)                                                 (III)

Рассмотрим первую скобку выражения (III):

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

По сути слагаемые данной последовательности являются слагаемыми возрастающей арифметической прогрессии.

a₄ = 4 - I-й член прогрессии;

a₁₀ = 10 - VII-й член прогрессии;

n = 7 - количество членов прогрессии.

Сумма некоторых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:

Рассмотрим вторую скобку выражения (III):

10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18

По сути слагаемые данной последовательности являются слагаемыми возрастающей арифметической прогрессии.

a₁₀ = 10 - X-й член прогрессии;

a₁₈ = 18 - XVIII-й член прогрессии;

n = 9 - количество членов прогрессии.

Сумма некоторых n членов арифметической прогрессии выражается формулой:

Следовательно, выражение (III) равно:

(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) = 49 · 126 = 6174 

Промежуточный вывод: наибольшую сумму, которую можно получить равна 6174.

II этап: определение наименьшей по модулю суммы.

На заметку: минимально возможным по модулю значением суммы может быть НОЛЬ.

Рассмотрим выражение (III):

(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18)

Очевидно, что для поиска наименьшего значения некоторые знаки «+» поменяются на обратные, то есть на знаки «-».

Предположим, что наименьшая по модулю сумма равна 0, то есть:

(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) = 0

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть:

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 0 или 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 0

Если сумма из n слагаемых (различного знака взятых по модулю), образующих арифметическую прогрессию равняется нулю, то выполняется следующее условие.

Условие: сумма этих n слагаемых, взятых по модулю, должна быть четным числом.

Рассмотрим выражение 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 0

Как было рассчитано ранее, данная сумма равна 49.

49 - не является четным числом, то есть не выполняется «условие».

Следовательно, из выражения 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 нельзя получить 0, манипулируя знаком числа «+» или «-» перед слагаемыми.

Рассмотрим выражение 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 0

Как было рассчитано ранее, данная сумма равна 126.

126 - четное число.

Следовательно, из совокупности чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 можно попытаться получить 0, манипулируя знаком числа.

Разделим сумму чисел 126 пополам, получив две равные части:

Сумма положительных элементов равна 63.

Сумма отрицательных элементов равна -63.

Сначала считаем сумму необходимого количества членов для максимального приближения к требуемой сумме (в нашем случае 63).

10 + 11 = 21 ≤ 63 - ИСТИНА;

21 + 12 = 10 + 11 + 12 = 33 ≤ 63 - ИСТИНА;

33 + 13 = 10 + 11 + 12 + 13 = 46 ≤ 63 - ИСТИНА;

46 + 14 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60 ≤ 63 - ИСТИНА;

60 + 15 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 75 ≤ 63 - ЛОЖЬ, следовательно:

+ 10 + 11 + 12 + 13 + 14? 15? 16? 17? 18 = 0

Определим разность расчетной и полученной сумм:

R = [расчетная сумма] - [полученная сумма] = 63 - 60 = 3

Разделим полученное значение пополам (корректировка):

x = R/2 = 3/2 = 1[целое] и 1[остаток]

Если корректировка положительна (х = 1 > 0 - ИСТИНА), то слагаемые, идущие в начале получают знак «-», а идущие в конце знак «+», то есть:

- 10 - 11 - 12 - 13 - 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 0

Пока сумма из представленных слагаемых не станет равна нулю, берем пару чисел, отличающихся на величину корректировки и меняем у чисел знак на противоположный.

Разность расчетной и полученной сумм: +3

Пара чисел: (-14) и 15.

- 10 - 11 - 12 - 13 + 14 - 15 + 16 + 17 + 18

Разность расчетной и полученной сумм: +2

Пара чисел: (-13) и 14.

- 10 - 11 - 12 + 13 - 14 - 15 + 16 + 17 + 18

Разность расчетной и полученной сумм: +1

Пара чисел: (-15) и 16.

- 10 - 11 - 12 + 13 - 14 + 15 - 16 + 17 + 18

Разность расчетной и полученной сумм: 0

Следовательно, выражение (III) может выродить в ноль:

(4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) · (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) = 0

Значит, наименьшая по модулю сумма также равна 0.