Дано:
уравнение вида a! + 5a + 13 = b², где a! = 1 · 2 · ... · a - произведение всех натуральных чисел от 1 до a.

Вопрос:
решите в натуральных числах уравнение.

I. Рассмотрим фрагмент левой части уравнения:

a! + 5a

Данное выражение гарантировано будет кратно 5 при a ≥ 5.

Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда, когда последняя цифра числа 0 или 5.

При  a ≥ 5,  a! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · ... · a  то   есть,   среди   делителей   встречается   число   5,   следовательно,   a!   при a ≥ 5 гарантировано разделится на 5.

II. Выражение (a! + 5a), при a ≥ 5 будет оканчиваться на цифру 0 или 5, поскольку данное выражение кратно 5.

После добавления числа 13 к сумме (a! + 5a) последняя цифра превратится в 3 или 8 (0 + 3 = 3; 5 + 3 = 8). Следовательно, слагаемое b² должно оканчиваться на цифру 3 или 8.

Проверим, может ли квадрат произвольного натурального числа оканчиваться на цифру 3 или 8.

Процессинговая таблица

То есть, квадрат любого натурального числа не может оканчиваться на цифру 3 или 8.

Следовательно, при a ≥ 5 исходное уравнение решения не имеет.

III. Рассмотрим вариант, когда a < 5 (a = 1, 2, 3, 4).

Произведем последовательную подстановку:

a = 1

1! + 5 · 1 + 13 = b²

1 + 5 + 13 = b²

b² = 19

b = ± `sqrt(19)` - нет натурального числа.

a = 2

2! + 5 · 2 + 13 = b²

1 · 2 + 10 + 13 = b²

b² = 25

b = ± `sqrt(25)` = `sqrt(5^2)`  = 5

a = 3

3! + 5 · 3 + 13 = b²

1 · 2 · 3 + 15 + 13 = b²

b² = 34

b = ± `sqrt(34)` - нет натурального числа.

a = 4

4! + 5 · 4 + 13 = b²

1 · 2 · 3 · 4 + 20 + 13 = b²

b² = 57

b = ± `sqrt(57)` - нет натурального числа.