Дано:
пять различных натуральных чисел.

Вопрос:
можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720, и

     а) пять;
     б) четыре;
     в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

I. Разложим заданное число 720 на простые множители.

Основная теорема арифметики: каждое натуральное число, больше единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причем единственным способом.

Простое число - натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

В разложении числа 720 множитель:

• 2 встречается 4 раза;

• 3 встречается 2 раза;

• 5 встречается 1 раз.

II. Обозначим произведение пяти различных натуральных чисел как:

a · b · c · d · e, где a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ϵ N

Попробуем привести пример пяти натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию, чье произведение равно 720.

Пусть a = b₁ - I член геометрической прогрессии

Тогда

b = b₁q  - II член геометрической прогрессии

c = b₁q² - III член геометрической прогрессии

d = b₁q³ - IV член геометрической прогрессии

e = b₁q⁴ - V член геометрической прогрессии

Тогда произведение примет вид:

a · b · c · d · e = b₁ · (b₁q) · (b₁q²) · (b₁q³) · (b₁q⁴) = (b₁ · b₁ · b₁ · b₁ · b₁) · (q · q² · q³ · q⁴) = b₁⁵ · q^1+2+3+4 = = b₁⁵ · q¹⁰ = 720

С другой стороны:

720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2⁴ · 3² · 5

или

В итоге: b₁⁵ · q¹⁰ = 2⁴ · 3² · 5 · 1¹⁰

Множитель b₁ - встречается 5 раз;

Множитель q - встречается 10 раз;

Очевидно, что b₁ и q не имеют соответствующих множителей в правой части.

Промежуточный вывод: нельзя привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720 и они образуют геометрическую прогрессию.

III. Обозначим произведение пяти различных натуральных чисел как:

a · b · c · d · e, где a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ϵ N

Попробуем привести пример четырех натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию, чье произведение равно 720.

Пусть a = b₁ - I член геометрической прогрессии

Тогда b = b₁q - II член геометрической прогрессии

c = b₁q² - III член геометрической прогрессии

d = b₁q³ - IV член геометрической прогрессии

Тогда произведение примет вид:

a · b · c · d · e = b₁ · (b₁q) · (b₁q²) · (b₁q³) · e = (b₁ · b₁ · b₁ · b₁) · (q · q² · q³) · e = b₁⁴ · q¹⁺²⁺³ · e =

= b₁⁴ · q⁶ · e = 720

С другой стороны:

720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2⁴ · 3² · 5

или

В итоге: b₁⁴ · q⁶ · e = 2⁴ · 3² · 5 · 1¹⁰

Множитель b₁ - встречается 4 раза;

Множитель q - встречается 6 раз;

Множитель e - встречается 1 раз;

Очевидно, что множитель b₁ имеет соответствие в правой части, это цифра 2.

А множитель q не имеет соответствующего множителя в правой части.

Промежуточный вывод: нельзя привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720 и они образуют геометрическую прогрессию.

IV. Обозначим произведение пяти различных натуральных чисел как:

a · b · c · d · e, где a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ϵ N

Попробуем привести пример трех натуральных чисел, образующих геометрическую прогрессию, чье произведение равно 720.

Пусть a = b₁ - I член геометрической прогрессии

Тогда

b = b₁q  - II член геометрической прогрессии

c = b₁q² - III член геометрической прогрессии

Тогда произведение примет вид:

a · b · c · d · e = b₁ · (b₁q) · (b₁q²) · d · e = (b₁ · b₁ · b₁) · (q · q²) · d · e = b₁³ · q¹⁺² · d · e = b₁³ · q³ · d · e =

= 720

С другой стороны:

720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2⁴ · 3² · 5

или

В итоге:  b₁³ · q³ · d · e = 2⁴ · 3² · 5 · 1¹⁰

Множитель b₁ - встречается 3 раза;

Множитель q - встречается 3 раза;

Множители d, e - встречаются 1 раз;

Так как (q ≠ 1), то множителю q соответствует число 2, следовательно, множителю b₁ соответствует число 1.

Имеем:

a = b₁ = 1

b = b₁q = 1 · 2 = 2

c = b₁q² = 1 · 2² = 1 · 4 = 4

То есть произведение принимает вид:

a · b · c · d · e = 1 · 2 · 4 · d · e = 720 или

a · b · c · d · e = 2⁴ · 3² · 5

Докажем, что d ≠ e ≠ 1 ≠ 2 ≠ 4

1 · 2 · 4 · d · e = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Пусть

d = 2 · 3 = 6

e = 3 · 5 = 15

6 ≠ 15 ≠ 1 ≠ 2 ≠ 4 - верно